站长之家域名ip查询,linux做商务网站,2小时学会php网站建设,西安网络公司大全使用稀疏矩阵存储包含众多零值元素的数据#xff0c;可以节省大量内存并加快该数据的处理速度。sparse 是一种属性#xff0c;可以将该属性分配给由 double 或 logical 元素组成的任何二维 MATLAB 矩阵。通过 sparse 属性#xff0c;MATLAB 可以#xff1a; • 仅存储矩… 使用稀疏矩阵存储包含众多零值元素的数据可以节省大量内存并加快该数据的处理速度。sparse 是一种属性可以将该属性分配给由 double 或 logical 元素组成的任何二维 MATLAB 矩阵。通过 sparse 属性MATLAB 可以 • 仅存储矩阵中的非零元素及其索引。 • 不必对零元素执行运算从而减少计算时间。 对于满矩阵MATLAB 将在内部存储每个矩阵元素。零值元素与任何其他矩阵元素需要的存储空间量相同。但是对于稀疏矩阵MATLAB 只会存储非零元素及其索引。对于零值元素百分比很高的大型矩阵此方案可以极大地减少存储数据所需的内存量。whos 命令提供有关矩阵存储的高级信息包括大小和存储类。例如以下的 whos 列表显示了有关同一矩阵的稀疏版本和完全版本的信息。 M_full magic(1100); % Create 1100-by-1100 matrix. M_full(M_full 50) 0; % Set elements 50 to zero. M_sparse sparse(M_full); % Create sparse matrix of same. whos Name Size Bytes Class Attributes M_full 1100x1100 9680000 double M_sparse 1100x1100 9608 double sparse 请注意稀疏矩阵中使用的字节数较少因为零值元素未被存储。 在计算效率方面稀疏矩阵也具有显著的优点。与满矩阵的运算不同稀疏矩阵的运算不会执行不必要的低级算术操作例如加零 x0 始终为 x 。这样便可大大缩短处理大量稀疏数据的程序的执行时间。 1.创建稀疏矩阵 MATLAB 从不会自动创建稀疏矩阵。相反还必须确定矩阵中是否包含足够高百分比的零元素以便利用稀疏方法。 矩阵的密度是指非零元素数目除以矩阵元素总数。对于矩阵 M 这将为 nnz(M) / prod(size(M)); 或 nnz(M) / numel(M); 密度非常低的矩阵通常很适合使用稀疏格式。 1.1将满矩阵转换为稀疏矩阵 可以使用带有单个参数的 sparse 函数将满矩阵转换为稀疏存储。例如 A [ 0 0 0 5 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 4 0]; S sparse(A) S (3,1) 1 (2,2) 2 (3,2) 3 (4,3) 4 (1,4) 5 列显输出中列出了 S 的非零元素及其行索引和列索引。这些元素按列排序反映了内部数据结构体。如果矩阵阶数不太高可以使用 full 函数将稀疏矩阵转换为满存储。例如 A full(S) 可反向转换该示例。 将满矩阵转换为稀疏存储并非生成稀疏矩阵的最常用方法。如果矩阵的阶数足够低可以进行满存储则转换为稀疏存储很难显著节省内存。 1.2直接创建稀疏矩阵 可以使用带有五个参数的 sparse 函数基于一列非零元素来创建稀疏矩阵。 S sparse(i,j,s,m,n) i 和 j 分别是矩阵中非零元素的行索引和列索引的向量。 s 是由对应的 (i,j) 对指定索引的非零值的向量。 m 是生成的矩阵的行维度 n 是其列维度。前一示例中的矩阵 S 可以直接通过以下表达式生成 S sparse([3 2 3 4 1],[1 2 2 3 4],[1 2 3 4 5],4,4) S (3,1) 1 (2,2) 2 (3,2) 3 (4,3) 4 (1,4) 5 sparse 命令具有许多备用形式。上面示例使用的形式将矩阵中的最大非零元素数设置为 length(s)。如果需要可以追加第六个参数用来指定更大的最大数这样能在以后添加非零元素而不必重新分配稀疏矩阵。 二阶微分算子的矩阵表示形式就是一个很好的稀疏矩阵示例。它是一个三对角矩阵其中 -2s 在对角线上1s 在上对角线和下对角线上。有多种方式生成此类炬阵这里只是一种可能性。 n 5; D sparse(1:n,1:n,-2*ones(1,n),n,n); E sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); S EDE S (1,1) -2 (2,1) 1 (1,2) 1 (2,2) -2 (3,2) 1 (2,3) 1 (3,3) -2 (4,3) 1 (3,4) 1 (4,4) -2 (5,4) 1 (4,5) 1 (5,5) -2 现在F full(S) 显示相应的满矩阵。 F full(S) F -2 1 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 1 -2 1.3基于稀疏矩阵的对角线元素创建稀疏矩阵 基于稀疏矩阵的对角线元素创建稀疏矩阵是一种常用操作因此函数 spdiags 可以处理此任务。其语法是 S spdiags(B,d,m,n) 要创建大小为 m×n 且元素在 p 对角线上的输出矩阵 S • B 是大小为 min(m,n) ×p 的矩阵。 B 的列是用于填充 S 对角线的值。 • d 是长度 p 的向量其整数元素可以指定要填充的 S 对角线。 即B 的列 j 中的元素填充 d 的元素 j 指定的对角线。 注意 如果 B 的列长度超过所替换的对角线则上对角线从 B 列的下部获取下对角线从 B 列的上部获取。例如考虑使用矩阵 B 和向量 d 。 B [ 41 11 0 52 22 0 63 33 13 74 44 24 ]; d [-3 0 2]; 使用这些矩阵创建 7×4 稀疏矩阵 A A spdiags(B,d,7,4) A (1,1) 11 (4,1) 41 (2,2) 22 (5,2) 52 (1,3) 13 (3,3) 33 (6,3) 63 (2,4) 24 (4,4) 44 (7,4) 74 在其满矩阵形式中A 类似于 full(A) ans 11 0 13 0 0 22 0 24 0 0 33 0 41 0 0 44 0 52 0 0 0 0 63 0 0 0 0 74 spdiags 还可以从稀疏矩阵中提取对角线元素或将矩阵对角线元素替换为新值。键入 help spdiags 以了解详细信息。 1.4导入稀疏矩阵 可以在 MATLAB 环境外部通过计算导入稀疏矩阵。结合使用 spconvert 函数与 load 命令导入包含索引和非零元素列表的文本文件。例如考虑使用三列文本文件 T.dat它的第一列是行索引列表第二列是列索引列表第三列是非零值列表。这些语句将 T.dat 加载到 MATLAB 中并将其转换为稀疏矩阵 S load T.dat S spconvert(T) save 和 load 命令还可以处理作为 MAT 文件中的二进制数据存储的稀疏矩阵。 2.访问稀疏矩阵 2.1非零元素 以下多条命令可以提供有关稀疏矩阵的非零元素的概要信息 • nnz 返回稀疏矩阵中的非零元素数。 • nonzeros 返回包含稀疏矩阵的所有非零元素的列向量。 • nzmax 返回为稀疏矩阵的非零项分配的存储空间量。 要尝试上述中的一些命令请加载提供的稀疏矩阵 west0479 该矩阵是 Harwell-Boeing 集合之一。 load west0479 whos Name Size Bytes Class Attributes west0479 479x479 34032 double sparse 该矩阵为八个阶段的化工精馏塔建模。尝试以下命令。 nnz(west0479) ans 1887 format short e west0479 west0479 (25,1) 1.0000e00 (31,1) -3.7648e-02 (87,1) -3.4424e-01 (26,2) 1.0000e00 (31,2) -2.4523e-02 (88,2) -3.7371e-01 (27,3) 1.0000e00 (31,3) -3.6613e-02 (89,3) -8.3694e-01 (28,4) 1.3000e02 nonzeros(west0479) ans 1.0000e00 -3.7648e-02 -3.4424e-01 1.0000e00 -2.4523e-02 -3.7371e-01 1.0000e00 -3.6613e-02 -8.3694e-01 1.3000e02 . 注意 使用 CtrlC 随时停止列出 nonzeros 。 请注意最初在默认情况下nnz 与 nzmax 的值相同。即非零元素数等于为非零元素分配的存储位置数。但是如果将其他的数组元素置零MATLAB 不会动态释放内存。将某些矩阵元素的值更改为零时会更改 nnz 的值但不会更改 nzmax 的值。但是可以根据需要将尽可能多的非零元素添加到矩阵中。不受 nzmax 原始值的限制。 2.2索引和值 对于任何矩阵无论是满矩阵还是稀疏矩阵find 函数都会返回非零元素的索引和值。其语法是 [i,j,s] find(S); find 返回向量 i 中的非零值的行索引、向量 j 中的列索引以及向量 s 中的自身非零值。下面的示例使用find 查找稀疏矩阵中的非零索引和值。 sparse 函数同时使用 find 输出和矩阵大小重新创建矩阵。 S1 west0479; [i,j,s] find(S1); [m,n] size(S1); S2 sparse(i,j,s,m,n); 2.3稀疏矩阵运算中的索引 由于稀疏矩阵是以压缩稀疏列格式存储的因此为稀疏矩阵进行索引的相关成本与为满矩阵进行索引的相关成本不同。在只需更改稀疏矩阵中的若干元素时这类成本可忽略不计因此在这类情况下通常使用常规数组索引来重新分配值 B speye(4); [i,j,s] find(B); [i,j,s] ans 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 B(3,1) 42; [i,j,s] find(B); [i,j,s] ans 1 1 1 3 1 42 2 2 1 3 3 1 4 4 1 在存储新矩阵时为使 42 位于 (3,1) 位置MATLAB 会在非零值向量和下标向量中插入额外的一行然后移动 (3,1) 后面的所有矩阵值。如果线性索引超过 2^48-1即当前矩阵中允许的元素数上限使用线性索引在大型稀疏矩阵中访问或指定元素将失败。 S spalloc(2^30,2^30,2); S(end) 1 Maximum variable size allowed by the program is exceeded. 要访问其线性索引大于 intmax 的元素请使用数组索引 S(2^30,2^30) 1 S (1073741824,1073741824) 1 尽管在稀疏矩阵中进行索引以更改单个元素的成本可忽略不计但该成本在循环环境下会增加而且在大型矩阵中该操作可能会使执行速度变得很慢。因此在需要更改大量稀疏矩阵元素的情况下最好使用向量化方法而不要使用循环方法来执行该操作。例如考虑稀疏单位矩阵 n 10000; A 4*speye(n); 以循环方式更改 A 的元素慢于类似的向量化运算 tic A(1:n-1,n) -1; A(n,1:n-1) -1; toc Elapsed time is 0.003344 seconds. tic for k 1:n-1 C(k,n) -1; C(n,k) -1; end toc Elapsed time is 0.448069 seconds. 由于 MATLAB 以压缩稀疏列格式存储稀疏矩阵因此在循环的每个遍历期间它都需要移动 A 中的多个条目。如果为稀疏矩阵预分配内存然后以类似的逐个元素的方式填充会使对稀疏数组进行索引产生大量开销 S1 spalloc(1000,1000,100000); tic; for n 1:100000 i ceil(1000*rand(1,1)); j ceil(1000*rand(1,1)); S1(i,j) rand(1,1); end toc Elapsed time is 2.577527 seconds. 构建索引和值向量则无需为稀疏数组进行索引因此这种方法的速度快得多 i ceil(1000*rand(100000,1)); j ceil(1000*rand(100000,1)); v zeros(size(i)); for n 1:100000 v(n) rand(1,1); end tic; S2 sparse(i,j,v,1000,1000); toc Elapsed time is 0.017676 seconds. 因此最好使用构造函数例如 sparse 或 spdiags 函数一次构造所有稀疏矩阵。例如假定需要稀疏形式的坐标矩阵 C 4 0 0 0 −1 0 4 0 0 −1 C 0 0 4 0 −1 0 0 0 4 −1 1 1 1 1 4 使用 sparse 函数以及行下标、列下标和值组成的三联对组直接构造该五列矩阵 i [1 5 2 5 3 5 4 5 1 2 3 4 5]; j [1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5]; s [4 1 4 1 4 1 4 1 -1 -1 -1 -1 4]; C sparse(i,j,s) C (1,1) 4 (5,1) 1 (2,2) 4 (5,2) 1 (3,3) 4 (5,3) 1 (4,4) 4 (5,4) 1 (1,5) -1 (2,5) -1 (3,5) -1 (4,5) -1 (5,5) 4 输出中值的顺序反映了底层的按列存储。 2.4可视化稀疏矩阵 以图的形式查看非零元素在稀疏矩阵内的分布通常很有用。MATLAB spy 函数生成稀疏结构的模板视图其中图表中的每点代表一个非零数组元素的位置。例如加载提供的稀疏矩阵 west0479 该矩阵是 Harwell-Boeing 集合之一。 load west0479 查看稀疏结构体。 spy(west0479)
