ps海报制作教程步骤的网站,wordpress 锚点的设计,网站备案现场核验,昆明网站开发建文章目录 一、无穷限反常积分的审敛法二、无界函数的反常积分审敛法三、 Γ \Gamma Γ 函数 一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , ∞ ) [a, \infty) [a,∞) 上连续#xff0c;且 f ( x ) ⩾ 0 f(x) \geqslant 0 f(x)⩾0.若函数 F (… 文章目录 一、无穷限反常积分的审敛法二、无界函数的反常积分审敛法三、 Γ \Gamma Γ 函数 一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , ∞ ) [a, \infty) [a,∞) 上连续且 f ( x ) ⩾ 0 f(x) \geqslant 0 f(x)⩾0.若函数 F ( x ) ∫ a x f ( t ) d t F(x) \int_a^x f(t) \mathrm{d}t F(x)∫axf(t)dt 在 [ a , ∞ ) [a, \infty) [a,∞) 上有上界则反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 收敛。
定理2比较审敛原理 设函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) \mathrm{g}(x) g(x) 在区间 [ a , ∞ ) [a, \infty) [a,∞) 上连续。如果 0 ⩽ f ( x ) ⩽ g ( x ) ( a ⩽ x ∞ ) 0 \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{g}(x)(a \leqslant x \infty) 0⩽f(x)⩽g(x)(a⩽x∞) 并且 ∫ a ∞ g ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x ∫a∞g(x)dx 收敛那么 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 也收敛如果 0 ⩽ g ( x ) ⩽ f ( x ) ( a ⩽ x ∞ ) 0 \leqslant \mathrm{g}(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x \infty) 0⩽g(x)⩽f(x)(a⩽x∞) 并且 ∫ a ∞ g ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x ∫a∞g(x)dx 发散那么 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 也发散。
定理3比较审敛法1 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , ∞ ) ( a 0 ) [a, \infty) (a 0) [a,∞)(a0) 上连续且 f ( x ) ⩾ 0 f(x) \geqslant 0 f(x)⩾0 .如果存在常数 M 0 M 0 M0 及 p 1 p 1 p1 使得 f ( x ) ⩽ M x p ( a ⩽ x ∞ ) f(x) \leqslant \cfrac{M}{x^p}(a \leqslant x \infty) f(x)⩽xpM(a⩽x∞) 那么反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 收敛如果存在常数 N 0 N 0 N0 使得 f ( x ) ⩾ N x ( a ⩽ x ∞ ) f(x) \geqslant \cfrac{N}{x}(a \leqslant x \infty) f(x)⩾xN(a⩽x∞)那么反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 发散。
定理4极限审敛法1 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , ∞ ) [a, \infty) [a,∞) 上连续且 f ( x ) ⩾ 0 f(x) \geqslant 0 f(x)⩾0 。如果存在常数 p 1 p 1 p1 使得 lim x → ∞ x p f ( x ) c ∞ \lim\limits_{x \to \infty} x^p f(x) c \infty x→∞limxpf(x)c∞那么反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 收敛如果 lim x → ∞ x f ( x ) d 0 \lim\limits_{x \to \infty} x f(x) d 0 x→∞limxf(x)d0 或 lim x → ∞ x f ( x ) ∞ \lim\limits_{x \to \infty} x f(x) \infty x→∞limxf(x)∞那么反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 发散。
定理5 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , ∞ ) [a, \infty) [a,∞) 上连续。如果反常积分 ∫ a ∞ ∣ f ( x ) ∣ d x \int_a^{\infty} |f(x)| \mathrm{d}x ∫a∞∣f(x)∣dx 收敛那么反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 也收敛。
通常称满足定理5条件的反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 绝对收敛。定理5可简单的表述为绝对收敛的反常积分 ∫ a ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 必定收敛。
二、无界函数的反常积分审敛法
定理6比较审敛法2 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( a , b ] (a, b] (a,b] 上连续且 f ( x ) ⩾ 0 f(x) \geqslant 0 f(x)⩾0 x a x a xa 为 f ( x ) f(x) f(x) 的瑕点。如果存在常数 M 0 M 0 M0 及 q 1 q 1 q1使得 f ( x ) ⩽ M ( x − a ) q ( a x ⩽ b ) , f(x) \leqslant \cfrac{M}{(x - a)^q} \quad (a x \leqslant b), f(x)⩽(x−a)qM(ax⩽b), 那么反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫abf(x)dx 收敛如果存在常数 N 0 N 0 N0 使得 f ( x ) ⩾ N x − a ( a x ⩽ b ) , f(x) \geqslant \cfrac{N}{x - a} \quad (a x \leqslant b), f(x)⩾x−aN(ax⩽b), 那么反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫abf(x)dx 发散。
定理7极限审敛法2 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( a , b ] (a, b] (a,b] 上连续且 f ( x ) ⩾ 0 f(x) \geqslant 0 f(x)⩾0 x a x a xa 为 f ( x ) f(x) f(x) 的瑕点。如果存在常数 0 q 1 0 q 1 0q1使得 lim x → a ( x − a ) q f ( x ) \lim_{x \to a^} (x - a)^q f(x) x→alim(x−a)qf(x) 存在那么反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫abf(x)dx 收敛如果 lim x → a ( x − a ) f ( x ) d 0 ( 或 lim x → a ( x − a ) f ( x ) ∞ ) , \lim_{x \to a^} (x - a) f(x) d 0 \quad (或 \lim_{x \to a^} (x - a) f(x) \infty), x→alim(x−a)f(x)d0(或x→alim(x−a)f(x)∞), 那么反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫abf(x)dx 发散。
三、 Γ \Gamma Γ 函数 Γ \Gamma Γ 函数的定义如下 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ e − x x s − 1 d x ( s 0 ) \Gamma (s) \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s - 1} \mathrm{d}x \quad (s 0) Γ(s)∫0∞e−xxs−1dx(s0) Γ 函数 \Gamma 函数 Γ函数 的几个重要性质 递推公式 Γ ( s 1 ) s Γ ( s ) ( s 0 ) \Gamma (s 1) s \Gamma(s) \quad (s 0) Γ(s1)sΓ(s)(s0) 一般地对任何正整数 n n n 有 Γ ( n 1 ) n ! \Gamma(n 1) n! Γ(n1)n! 所以我们可以把 Γ \Gamma Γ 函数看成是阶乘的推广。 当 s → 0 s \to 0^ s→0 时 Γ ( s ) → ∞ \Gamma(s) \to \infty Γ(s)→∞ Γ ( s ) Γ ( 1 − s ) π sin π s ( 0 s 1 ) \Gamma(s) \Gamma(1 - s) \cfrac{\pi}{\sin{\pi s}} (0 s 1) Γ(s)Γ(1−s)sinπsπ(0s1) . 这个公式称为余元公式。
原文链接高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ \Gamma Γ函数
