- 一、曲面研究的基本问题
- 二、旋转曲面
- 三、柱面
- 四、二次曲线
- 1. 椭圆锥面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = z^2\)
- 2.椭球面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} + \cfrac{z^2}{c^2} = 1\)
- 3.单叶双曲面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} - \cfrac{z^2}{c^2} = 1\)
- 4.双叶双曲面 \(\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} - \cfrac{z^2}{c^2} = 1\)
- 5.椭圆抛物面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = z\)
- 6.双曲抛物面 \(\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} = z\)
一、曲面研究的基本问题
在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题：
（1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；
（2）已知坐标 \(x, y, z\) 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。
如球心在点 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\) 、半径为 \(R\) 的球面方程为
如果球心在原点，那么 \(x_0 = y_0 = z_0 = 0\) ，从而球面方程为
二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋转曲面 ，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的 母线 和 轴 。
设在 \(yOz\) 坐标面上有一已知曲线 \(C\) ，它的方程为
把这曲线绕 \(z\) 轴旋转一周，就得到一个以 \(z\) 轴为轴的旋转曲面。它的方程可以求得如下：
设 \(M_1(0, y_1, z_1)\) 为曲线 \(C\) 上的任一点，则有
当曲线 \(C\) 绕 \(z\) 轴旋转时，点 \(M_1\) 绕 \(z\) 轴转到另一点 \(M(x, y, z)\) ，这时 \(z = z_1\) 保持不变，且点 \(M\) 到 \(z\) 轴的距离
将 \(z_1 = z, y_1 = \pm \sqrt{x^2 + y^2}\) 代入 \((5-2)\) 式，就有
这就是所求旋转曲面的方程。
由此可知，在曲线 \(C\) 的方程 \(F(y, z) = 0\) 中将 \(y\) 改成 \(\pm \sqrt{x^2 + y^2}\) ，便得曲线 \(C\) 绕 \(z\) 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线 \(C\) 绕 \(y\) 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
三、柱面
一般地，直线 \(L\) 沿定曲线 \(C\) 平行移动形成的轨迹叫做 柱面 ，定曲线 \(C\) 叫做 柱面的准线 ，动直线 \(L\) 叫做 柱面的母线 。
一般地，只含 \(x, y\) 而缺 \(z\) 的方程 \(F(x, y) = 0\) 在空间直角坐标系中表示母线平行于 \(z\) 轴的柱面，其准线是 \(xOy\) 面上的曲线。
类似可知，只含 \(x, z\) 而缺 \(y\) 的方程 \(G(x, z) = 0\) 和只含 \(y, z\) 而缺 \(x\) 的方程 \(H(y, z) = 0\) 分别表示母线平行于 \(y\) 轴和 \(x\) 轴的柱面。
四、二次曲线
三元二次方程 \(F(x, y, z) = 0\) 所表示的曲面称为 二次曲面 ，而把平面称为 一次曲面 。
二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程。
1. 椭圆锥面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = z^2\)
以垂直于 \(z\) 轴的平面 \(z = t\) 截此曲面，当 \(t = 0\) 时得一点 \((0, 0, 0)\) ；当 \(t \neq 0\) 时，得平面 \(z = t\) 上的椭圆
当 \(t\) 变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当 \(|t|\) 从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点。综合上述讨论，可得椭圆锥面的形状如下图（图8-48）所示.
平面 \(z = t\) 与曲面 \(F(x, y, z) = 0\) 的交线称为 截痕 。通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为 截痕法 。
还可以用伸缩变形的方法来得出椭圆锥面的形状。
先说明 \(xOy\) 平面上的图形伸缩变形的方法。在 \(xOy\) 平面上，把点 \(M(x, y)\) 变为点 \(M'(x, \lambda y)\) ，从而把点 \(M\) 的轨迹 \(C\) 变为点 \(M'\) 的轨迹 \(C'\) ，称为把图形 \(C\) 沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\lambda\) 倍变成图形 \(C'\) 。假如 \(C\) 为曲线 \(F(x, y) = 0\) ，点 \(M(x_1, y_1) \in C\) ，点 \(M\) 变为点 \(M'(x_2, y_2)\) ，其中 \(x_2 = x_1, y_2 = \lambda y_1\) ，即 \(x_1 = x_2, y_1 = \cfrac{1}{\lambda} y_2\) ，因点 \(M \in C\) ，有 \(F(x_1, y_1) = 0\) ，故 \(F \left(x_2, \cfrac{1}{\lambda} y_2 \right) = 0\) ，因此点 \(M'(x_2, y_2)\) 的轨迹 \(C'\) 的方程为 \(F \left( x, \cfrac{1}{\lambda} y \right) = 0\) 。例如把圆 \(x^2 + y_2 = a^2\) 沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\cfrac{b}{a}\) 倍，就变为椭圆 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1\) 。
类似地，把空间图形沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\cfrac{b}{a}\) 倍，圆锥面 \(\cfrac{x^2 + y^2}{a^2} = z^2\) 就变为椭圆锥面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = z^2\) 。
利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得出椭圆锥面的形状，这种方法是研究曲面形状的一种较方便的方法。
2.椭球面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} + \cfrac{z^2}{c^2} = 1\)
把 \(zOx\) 面上的椭圆 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{z^2}{c^2} = 1\) 绕 \(z\) 轴旋转，所得的曲面称为 旋转椭球面 ，其方程为
再把旋转椭球面沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\cfrac{b}{a}\) 倍，便得椭球面 \((2)\) 的形状如图8-50所示。
当 \(a=b=c\) 时，椭球面 \((2)\) 成为 \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) ，这时球心在原点、半径为 \(a\) 的球面。显然，球面是旋转椭球面的特殊情形，旋转椭球面是椭球面的特殊情形。把球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) 沿 \(z\) 轴伸缩 \(\cfrac{c}{a}\) 倍，即得旋转椭球面 \(\cfrac{x^2 + y^2}{a^2} + \cfrac{z^2}{c^2} = 1\) ；再沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\cfrac{b}{a}\) 倍，即得椭球面 \((2)\) 。
3.单叶双曲面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} - \cfrac{z^2}{c^2} = 1\)
把 \(zOx\) 面上的双曲线 \(\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{z^2}{c^2} = 1\) 绕 \(z\) 轴旋转，得旋转单叶双曲面 \(\cfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \cfrac{z^2}{c^2} = 1\) ，把此旋转曲面沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\cfrac{b}{a}\) 倍，即得单叶双曲面 \((3)\) 。
4.双叶双曲面 \(\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} - \cfrac{z^2}{c^2} = 1\)
把 \(zOx\) 面上的双曲线 \(\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{z^2}{c^2} = 1\) 绕 \(x\) 轴旋转，得旋转双叶双曲面 \(\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2 + z^2}{c^2} = 1\) ，把此旋转曲面沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\cfrac{b}{c}\) 倍，即得双叶双曲面 \((4)\) 。
5.椭圆抛物面 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = z\)
把 \(zOx\) 面上的抛物线 \(\cfrac{x^2}{a^2} = z\) 绕 \(z\) 轴旋转，所得曲面叫做 旋转抛物面 ，如图8-51所示。把此旋转曲面沿 \(y\) 轴方向伸缩 \(\cfrac{b}{a}\) 倍，即得椭圆抛物面 \((5)\) 。
6.双曲抛物面 \(\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} = z\)
双曲抛物面又称 马鞍面 ，我们用截痕法来讨论它的形状。
用平面 \(x = t\) 截此曲面，所得截痕 \(l\) 为平面 \(x = t\) 上的抛物线
此抛物线开口朝下，其顶点坐标为
当 \(t\) 变化时，\(l\) 的形状不变，位置只作平移，而 \(l\) 的顶点的轨迹 \(L\) 为平面 \(y = 0\) 上的抛物线
因此，以 \(l\) 为母线，\(L\) 为准线，母线 \(l\) 的顶点在准线 \(L\) 上滑动，且母线作平行移动，这样得到的曲面便是双曲抛物面 \((6)\) ，如图8-52所示。
还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面
依次称为 椭球柱面 、双曲柱面 、抛物柱面 。