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小波域稀疏表示与正交匹配追踪算法压缩感知重建

news 2025/10/30 18:46:45

1. 小波域稀疏表示

小波变换是一种强大的工具，能够在时域和频域同时对信号进行分析，尤其适合处理具有多尺度特征的信号。在压缩感知中，小波域稀疏表示是将信号转换到小波域，使其在小波基下具有稀疏性。具体步骤如下：

对信号（如图像）进行离散小波变换（DWT），得到稀疏表示。
在小波域中，信号的大部分能量集中在少数几个系数上，这些系数对应于信号的重要特征。

2. 正交匹配追踪算法（OMP）

正交匹配追踪是一种贪婪算法，用于从测量数据中重建稀疏信号。其基本思想是逐步选择与测量数据最相关的基向量，进行稀疏信号的逼近和重构。算法步骤如下：

初始化残差 \(r = y\)（测量向量），索引集 \(\Lambda = \emptyset\)，迭代次数 \(t = 0\)。
找出残差 \(r\) 与测量矩阵 \(\Phi\) 的列 \(\phi_i\) 的内积中绝对值最大的索引 \(\lambda\)。
更新索引集 \(\Lambda = \Lambda \cup \{\lambda\}\)，并更新重构原子集合 \(\Phi_{\Lambda}\)。
通过最小二乘法求解 \(\hat{x}_{\Lambda} = \Phi_{\Lambda}^{\dagger} y\)，其中 \(\Phi_{\Lambda}^{\dagger}\) 是 \(\Phi_{\Lambda}\) 的伪逆。
更新残差 \(r = y - \Phi_{\Lambda} \hat{x}_{\Lambda}\)，增加迭代次数 \(t = t + 1\)。
判断是否满足 \(t > K\)（稀疏度），若满足则停止迭代，输出稀疏信号 \(\hat{x}\)。

3. 压缩感知重建流程

结合小波域稀疏表示和正交匹配追踪算法，可以实现压缩感知的信号重建：

离散小波变换：对原始信号（如图像）进行离散小波变换，得到稀疏表示。
测量过程：使用测量矩阵 \(\Phi\) 对稀疏表示后的信号进行测量，得到测量向量 \(y = \Phi X\)，其中 \(X\) 是稀疏表示后的信号。
信号重建：使用正交匹配追踪算法从测量向量 \(y\) 和测量矩阵 \(\Phi\) 中重建稀疏信号。
逆小波变换：将重建的稀疏信号通过逆小波变换恢复为原始信号。

4. MATLAB 实现

基于小波域稀疏表示和正交匹配追踪算法的压缩感知重建的 MATLAB 代码：

function reconstructed_signal = waveletOMPReconstruction(y, Phi, K)% y: 测量向量% Phi: 测量矩阵% K: 稀疏度% 小波变换[C, S] = wavedec(y, 1, 'db1'); % 使用 Daubechies 小波进行 1 层分解X = wthresh(C, 's', 0.1); % 阈值处理，保留重要系数% 正交匹配追踪r = y; % 初始化残差Lambda = []; % 索引集t = 0; % 迭代次数while t < K[~, lambda] = max(abs(Phi' * r)); % 找到与残差最相关的列Lambda = [Lambda, lambda]; % 更新索引集Phi_Lambda = Phi(:, Lambda); % 更新重构原子集合x_Lambda = Phi_Lambda \ y; % 最小二乘求解r = y - Phi_Lambda * x_Lambda; % 更新残差t = t + 1;end% 重建信号reconstructed_signal = zeros(size(X));reconstructed_signal(Lambda) = x_Lambda;reconstructed_signal = waverec(reconstructed_signal, S, 'db1'); % 逆小波变换
end

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