文章目录

一、动态求连续区间和

1、1 题目描述

1、2 题解关键思路与解答

二、数星星

2、1 题目描述

2、2 题解关键思路与解答

三、数列区间最大值

3、1 题目描述

3、2 题解关键思路与解答

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标题：树状数组与线段树问题

作者：@Ggggggtm

寄语：与其忙着诉苦，不如低头赶路，奋路前行，终将遇到一番好风景

一、动态求连续区间和

1、1 题目描述

题目来源：《信息学奥赛一本通》,Acwing模板题

题目难度：简单

题目描述：给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 [a,b] 的连续和。

输入格式：

  第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示数的个数和操作次数。

  第二行包含 n 个整数，表示完整数列。

  接下来 m 行，每行包含三个整数 k,a,b （k=0，表示求子数列[a,b]的和；k=1，表示第 a 个数加 b）。

  数列从 1 开始计数。

输出格式：

  输出若干行数字，表示 k=0时，对应的子数列 [a,b] 的连续和。

数据范围：

  1≤n≤100000,
  1≤m≤100000，
  1≤a≤b≤n,
  数据保证在任何时候，数列中所有元素之和均在 int 范围内。

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8

输出样例：

11
30
35

1、2 题解关键思路与解答

  我们知道求一段区间的和用前缀和数组会很方便，时间复杂度也很快。但是当修改数组的数据时，我们又要重新求前缀和数组，这样下来时间复杂的就较高了，为O（n*n）的级别的。这个时候我们就可以用到树状数组来求解。树状数组是一个一维数组，每个位置存储的数据是一段区间的和。以下为书抓鬼呢数组的模板：我们只需要记住树状数组有三个比较重要的函数，lowbit（找下一个要操作的数）、add（改变大小）、query（求区间和）。我们看代码：

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010;int n, m;
int a[N], tr[N];int lowbit(int x)
{return x & -x;
}void add(int x, int v)
{for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}int query(int x)
{int res = 0;for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];return res;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) add(i, a[i]);while (m -- ){int k, x, y;scanf("%d%d%d", &k, &x, &y);if (k == 0) printf("%d\n", query(y) - query(x - 1));else add(x, y);}return 0;
}

二、数星星

2、1 题目描述

题目来源：《信息学奥赛一本通》 , Ural 1028

题目难度：中等

题目描述：

天空中有一些星星，这些星星都在不同的位置，每个星星有个坐标。

如果一个星星的左下方（包含正左和正下）有 k 颗星星，就说这颗星星是 k 级的。

例如，上图中星星 5 是 3 级的（1,2,4 在它左下），星星 2,4 是 1 级的。

例图中有 1 个 0 级，2 个 1 级 1 个 2 级，1 个 3 级的星星。

给定星星的位置，输出各级星星的数目。

换句话说，给定 N 个点，定义每个点的等级是在该点左下方（含正左、正下）的点的数目，试统计每个等级有多少个点。

输入格式：

第一行一个整数 N，表示星星的数目；

接下来 N 行给出每颗星星的坐标，坐标用两个整数 x,y 表示；

不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。

输出格式：

N 行，每行一个整数，分别是 0 级，1 级，2 级，……，N−1 级的星星的数目。

数据范围：

1≤N≤15000，
0≤x,y≤32000。

输入样例：

5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5

输出样例：

1
2
1
1
0

2、2 题解关键思路与解答

  我们仔细分析上述题目，题目中说道：不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。也就是输入的星星的做标顺序是按照从下往上，从左往右依次给出的。我们只需要判断该星星的左下方位置有多少个星星来确定等级就行。由于是按照坐标顺序给出的，所以这就给我们的统计带来了很大的方便。我们只需要看该坐标的横坐标，有多少个比该做的横坐标小的数就是星星的个数。在统计时还不断插入新坐标，相当于就是动态求数组的前缀和，我们在这里就可以利用树状数组即可解决问题。我们看代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;const int N=32010;int n;int c[N],level[N];int lowbit(int x)
{return x&-x;
}int sum(int x)
{int res=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i))res+=c[i];return res;
}void add(int x)
{for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i))c[i]++;
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);x++;level[sum(x)]++;add(x);}for(int i=0;i<n;i++)printf("%d\n",level[i]);
}

三、数列区间最大值

3、1 题目描述

题目来源：《信息学奥赛一本通》

题目难度：中等

题目描述：输入一串数字，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字 X,Y，要求你说出 X 到 Y 这段区间内的最大数。

输入格式：

  第一行两个整数 N,M 表示数字的个数和要询问的次数；

  接下来一行为 N 个数；

  接下来 M 行，每行都有两个整数 X,Y。

输出格式：

  输出共 M 行，每行输出一个数。

数据范围：

  1≤N≤1e5,
  1≤M≤1e6,
  1≤X≤Y≤N,
  数列中的数字均不超过2^31−1

输入样例：

10 2
3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
1 4
3 8

输出样例：

5
8

3、2 题解关键思路与解答

  我们正常可以想到的就是暴力循环，时间复杂度为O（n*n）的级别。题目中歌的数据范围较大，所以暴力是通过不了的。我们这个时候就可以使用线段树。线段树可以动态求一段区间的和、一段区间的最大值、最小值等问题。这个题中我们就是要求一段区间的最大值。什么是线段树呢？线段树是一棵平衡二叉树。母结点代表整个区间的和，越往下区间越小。注意，线段树的每个节点都对应一条线段（区间），但并不保证所有的线段（区间）都是线段树的节点，这两者应当区分开。

  我们在使用线段树时，通常会先建立一个结构体，该结构体包含左右区间，以及要求的值。每个节点 u 的左右子节点的编号分别为 2u 和 2u+1 ，假如节点 u 储存区间 [l,r] 的和，设 mid=⌊(l+r/)2⌋ ，那么两个子节点分别储存 [l, mid] 和 [mid+1,r] 的和。可以发现，左节点对应的区间长度，与右节点相同或者比之恰好多1。

  线段树有四个重要的函数：pushup（通过子节点向上求父节点的和）、build（通过递归建立线段树）、query（求一段区间的最大值或最小值或 和）、modify（修该某个值）。

  我们来结合本题的代码一起理解一下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<climits>using namespace std;const int N=1e5+10;int w[N];struct Node
{int l,r;int maxv;
}tr[4*N];void build(int u,int l,int r)
{if(l==r)tr[u]={l,r,w[r]};else{tr[u]={l,r};int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1 | 1,mid+1,r);tr[u].maxv=max(tr[u<<1].maxv,tr[u<<1 | 1].maxv);}
}int query(int u,int l,int r)
{if(tr[u].l>=l && tr[u].r<=r)return tr[u].maxv;int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;int maxv=INT_MIN;if(l<=mid)maxv=query(u<<1,l,r);if(r>mid)maxv=max(maxv,query(u<<1|1,l,r));return maxv;
}
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);build(1,1,n);int l,r;while(m--){scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d\n",query(1,l,r));}return 0;
}