北海哪家公司做网站建设研发,企业信用信息查询公示系统天津,福州快速优化排名,公关公司是干嘛的文章目录 引言一、高数常见泰勒展开 n n n 阶导数公式多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系多元函数极值无条件极值条件极值 三角函数的积分性质华里士公式#xff08; “点火”公式 #xff09;特殊性质 原函数与被积函数的奇偶性结论球坐标变换公式 二、写在最后 … 文章目录 引言一、高数常见泰勒展开 n n n 阶导数公式多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系多元函数极值无条件极值条件极值 三角函数的积分性质华里士公式 “点火”公式 特殊性质 原函数与被积函数的奇偶性结论球坐标变换公式 二、写在最后 引言
复习到后期去做到前面内容的题目时有一些需要记忆的结论就比较模糊比如微分方程的特解形式、施密特正交、各种分布的概率密度等等。我便把这些模糊的点都记录下来了整理在一起方便随时查阅 一、高数
常见泰勒展开
基本形式 f ( x ) ∑ n 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n . f(x)\sum_{n0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n. f(x)n0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n. 常见展开式 e x x n n ! 1 x 1 2 x 2 ⋯ 1 n ! x n ⋯ , − ∞ x ∞ . \pmb{e^x} \frac{x^n}{n!}1x\frac{1}{2}x^2\cdots\frac{1}{n!}x^n\cdots,-\inftyx\infty. exn!xn1x21x2⋯n!1xn⋯,−∞x∞. ln ( 1 x ) x − 1 2 x 2 1 3 x 3 ⋯ ( − 1 ) n − 1 x n n ⋯ , − 1 x ≤ 1. \ln(1x)x-\frac{1}{2}x^2\frac{1}{3}x^3\cdots(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\cdots,-1x\leq1. ln(1x)x−21x231x3⋯(−1)n−1nxn⋯,−1x≤1. sin x x − 1 3 ! x 3 1 5 ! x 5 ⋯ ( − 1 ) n x 2 n 1 ( 2 n 1 ) ! ⋯ , − ∞ x ∞ . \pmb{\sin x}x-\frac{1}{3!}x^3\frac{1}{5!}x^5\cdots(-1)^n\frac{x^{2n1}}{(2n1)!}\cdots,-\inftyx\infty. sinxx−3!1x35!1x5⋯(−1)n(2n1)!x2n1⋯,−∞x∞. cos x 1 − 1 2 ! x 2 1 4 ! x 4 ⋯ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! ⋯ , − ∞ x ∞ . \cos x1-\frac{1}{2!}x^2\frac{1}{4!}x^4\cdots(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\cdots,-\inftyx\infty. cosx1−2!1x24!1x4⋯(−1)n(2n)!x2n⋯,−∞x∞. 1 1 x 1 − x x 2 ⋯ ( − 1 ) n x n ⋯ , − 1 x 1. \frac{1}{1x}1-xx^2\cdots(-1)^nx^n\cdots,-1x1. 1x11−xx2⋯(−1)nxn⋯,−1x1. 1 1 − x 1 x x 2 ⋯ x n ⋯ , − 1 x 1. \pmb{\frac{1}{1-x}}1xx^2\cdotsx^n\cdots,-1x1. 1−x11xx2⋯xn⋯,−1x1. n n n 阶导数公式
分数 1 / ( a x b ) 1/(axb) 1/(axb) 的 n n n 阶导数 ( 1 a x b ) ( n ) ( − 1 ) n a n n ! ( a x b ) n 1 \big(\frac{1}{axb}\big)^{(n)}(-1)^n\frac{a^nn!}{(axb)^{n1}} (axb1)(n)(−1)n(axb)n1ann! ( sin x ) ( n ) sin ( x n π 2 ) , ( cos x ) ( n ) cos ( x n π 2 ) (\sin{x})^{(n)}\sin{(x\frac{n\pi}{2})},(\cos{x})^{(n)}\cos{(x\frac{n\pi}{2})} (sinx)(n)sin(x2nπ),(cosx)(n)cos(x2nπ)
多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系 多元函数极值
无条件极值 条件极值 三角函数的积分性质
华里士公式 “点火”公式
首先是在区间 [ 0 , π / 2 ] [0,\pi/2] [0,π/2] 上 sin , cos \sin,\cos sin,cos 可以互换即 ∫ 0 π / 2 f ( sin x ) d x ∫ 0 π / 2 f ( cos x ) d x \int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx\int_0^{\pi/2}f(\cos x)dx ∫0π/2f(sinx)dx∫0π/2f(cosx)dx 特别地有华里士公式点火公式 I n ∫ 0 π / 2 ( sin x ) n d x ∫ 0 π / 2 ( cos x ) n d x n − 1 n I n − 2 , I 0 π 2 , I 1 1. I_n\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx\int_0^{\pi/2}(\cos x)^ndx\frac{n-1}{n}I_{n-2},I_0\frac{\pi}{2},I_11. In∫0π/2(sinx)ndx∫0π/2(cosx)ndxnn−1In−2,I02π,I11. 可以推广到更大的区间在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] 上由于 sin x \sin x sinx 均为正因此直接点火乘个 2 就行。 ∫ 0 π ( sin x ) n d x 2 ∫ 0 π / 2 ( sin x ) n d x . \int_0^{\pi}(\sin x)^ndx2\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx. ∫0π(sinx)ndx2∫0π/2(sinx)ndx. cos x \cos x cosx 由于一半区间为负因此奇数次和偶数次奇数次为 0 可以记忆为奇函数对称为 0 偶数次同样是乘 2 。 ∫ 0 π ( cos x ) n d x 2 ∫ 0 π / 2 ( cos x ) n d x \int_0^{\pi}(\cos x)^ndx2\int_0^{\pi/2}(\cos x)^ndx ∫0π(cosx)ndx2∫0π/2(cosx)ndx 对于在区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π] 上 sin , cos \sin,\cos sin,cos 均有正有负因此奇数次为 0 偶数次乘一个 4 。 ∫ 0 2 π ( sin x ) n d x ∫ 0 2 π ( cos x ) n d x 4 ∫ 0 π / 2 ( sin x ) n d x . \int_0^{2\pi}(\sin x)^ndx\int_0^{2\pi}(\cos x)^ndx4\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx. ∫02π(sinx)ndx∫02π(cosx)ndx4∫0π/2(sinx)ndx.
特殊性质
在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] 上可以降到 [ 0 , π / 2 ] [0,\pi/2] [0,π/2] 上证明方法为拆区间令 t x − π / 2 tx-\pi/2 tx−π/2 把后半部分换掉。 ∫ 0 π f ( sin x ) d x 2 ∫ 0 π / 2 f ( sin x ) d x , t h e n w e h a v e , ∫ 0 π / 2 f ( sin x ) d x ∫ π / 2 π f ( sin x ) d x . \int_0^{\pi}f(\sin x)dx2\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx,then\space we \space have,\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx\int_{\pi/2}^{\pi}f(\sin x)dx. ∫0πf(sinx)dx2∫0π/2f(sinx)dx,then we have,∫0π/2f(sinx)dx∫π/2πf(sinx)dx. 多一个 x x x 可以提到积分外面来即 ∫ 0 π x f ( sin x ) d x π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x π ∫ 0 π / 2 f ( sin x ) d x . \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx\pi\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx. ∫0πxf(sinx)dx2π∫0πf(sinx)dxπ∫0π/2f(sinx)dx. 证明方法为令 t x − π tx-\pi tx−π 。
原函数与被积函数的奇偶性结论 f ( x ) f(x) f(x) 为奇函数可推出 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^x f(t)dt ∫axf(t)dt 为偶函数。 f ( x ) f(x) f(x) 为偶函数不能得到 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^x f(t)dt ∫axf(t)dt 为奇函数但可以得到 ∫ 0 x f ( t ) d t \int_0^x f(t)dt ∫0xf(t)dt 为奇函数。 ∫ a x f ( x ) d x \int_a^x f(x)dx ∫axf(x)dx 为奇/偶函数一定可以推得 f ( x ) f(x) f(x) 为相反的奇偶性。 ∫ a x f ( x ) d x \int_a^x f(x)dx ∫axf(x)dx 为周期函数一定可以推得 f ( x ) f(x) f(x) 也为周期函数反之不一定。
球坐标变换公式 r r r 表示几何体上一点到原点距离从原点引一条射线看范围 θ \theta θ 表示 r r r 在 x O y xOy xOy 平面的投影直线与 x x x 轴正向的夹角范围是 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π] φ \varphi φ 表示和 z z z 轴正向夹角范围是 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] 想象喇叭开花。
变换公式为 { x r cos θ sin φ y r sin θ sin φ z r cos φ , d x d y d z r 2 sin φ d r d θ d φ . \begin{cases} xr\cos\theta \sin\varphi\\ yr\sin \theta \sin\varphi \\ zr\cos\varphi\end{cases},dxdydzr^2\sin\varphi \space drd\theta d\varphi. ⎩ ⎨ ⎧xrcosθsinφyrsinθsinφzrcosφ,dxdydzr2sinφ drdθdφ. 二、 写在最后
