范畴论概念辨析
范畴 (Category) 包含对象（Object）和态射，对比集合概念，范畴不仅定义了静态的成员，也定义了成员之间的动态交互关系。不是任意对象和态射都能称为范畴，态射中至少包含一个单位态射，任何对象经过该态射得到本身。
不仅态射可以让对象发生变换，态射本身也可以看作一个对象处理进行变换。留意“万物皆对象”这个思想，后面将层层套娃。态射的组合产生新态射，其定义为 \((f\circ g)(X)=f(g(X))\)，注意符号是从后往前、从右往左执行
描述范畴之间的变换叫做函子（Functor），因此其用对范畴组成——对象、态射的变换前后来表达，将变换前后的范畴叫做“源范畴”到“目标范畴”。
自然变换（Natural Transformation）是描述函子之间的态射关系，其可以通过固定一个源范畴 X，经过不同的函子 FG 得到不同的目标范畴 YZ，再在不同目标范畴 YZ 之间建立态射来表达，自然态射是函子关系中一种满足交换的特殊关系，其含义感性理解为 “保持源范畴 X 结构的某种一致”。如果对 X 中任意对象 F 和 G 函子都存在自然变换，则称 F 和 G 函子是自然同构（Natural Isomorphism），记作 \(F\cong G\)。自然同构的函子可以认为是某种等价不同的表达关系。
Hom 函子是一种特殊的函子，既然是函子，其可以通过对象的态射和态射的态射定义：
- 对对象： \(Hom(A,\_)=C(A,\_)\),得到范畴中所有 A 为“源对象”态射的集合，比如 \(Hom(A,B)\) 把对象 \(B\) 映到态射集 \(C(A,B)\)。
- 对态射：给定 \(f:B\to C\)，定义 \(Hom(A,f):C(A,B)\to C(A,C)\) ，即 \(g\mapsto f\circ g\)。
Yoneda Lemma 定理
对于任意 X ，都能找到态射 F 满足：
\[F(Hom(X,\_{))}\cong F(X)
\]
即 “X 和范畴中任意其他对象的关系” 和 “X” 本身，总能在某个视角 F 下等价，或者说自身由与外界交互的关系定义。