在图论中，树的重心是树上的一个结点，以该结点为根时，使得其所有的子树中结点数最多的子树的结点数最少。一棵树可能有多个重心。请问下面哪种树一定只有一个重心？
A. 4 个结点的树
B. 6 个结点的树
C. 7 个结点的树
D. 8 个结点的树
问题重述
在图论中，树的重心定义为：
以该结点为根时，其所有子树中结点数最多的那棵子树的结点数最小。
一棵树可以有 0、1 或 2 个重心（不可能超过 2）。题目问：
下面哪种树“一定”只有一个重心？
| 选项 | 总结点数 |
|---|---|
| A | 4 |
| B | 6 |
| C | 7 |
| D | 8 |
关键结论
- 当且仅当树的总结点数 n 为奇数时，必然存在唯一重心。
- 若 n 为偶数，则 可能 出现 1 个或 2 个重心（取决于具体结构）。
逐项验证
| 选项 | n | 奇偶性 | 是否“一定”唯一重心 |
|---|---|---|---|
| A | 4 | 偶数 | ❌（可以有两个重心） |
| B | 6 | 偶数 | ❌（可以有两个重心） |
| C | 7 | 奇数 | ✅ |
| D | 8 | 偶数 | ❌（可以有两个重心） |
直观解释
- 7 个结点 ⇒ 去掉重心后，各子树大小 ≤ ⌊7/2⌋ = 3，无法分成两块 恰好 3+3；因此重心唯一。
- 4/6/8 个结点 ⇒ 可以构造出对称的“哑铃”结构，出现两个重心（各子树大小 n/2）。
✅ 最终答案
C. 7 个结点的树