最大公约数最小公倍数与周期的相关问题前情概要
以前只觉得，关于周期，主要涉及三角函数的周期考查，最多稍微延申一下，到结果周期函数的代数和形式，结果看到上海的试题考法，感觉这方面还是要再加大储备，特此整理。
最小公倍数最大公约数
两个整数的最大公约数与最小公倍数
解法1️⃣：手动操作，如图所示，用短除法，
最大公约数\(\gcd(12,18)=2\times3=6\)，最小公倍数\(lcm(12,18)=2\times3\times2\times3=36\)
解法2️⃣：使用软件 Desmos，见下图。
三个整数的最大公约数与最小公倍数
解法1️⃣：手动操作，用短除法，图略。
最大公约数\(\gcd(8,12,18)=2\)，最小公倍数\(lcm(8,12,18)=2\times3\times2\times2\times3=72\)
解法2️⃣：使用软件 Desmos，
加大难度
两个分数的最大公约数与最小公倍数
解法1️⃣：求两个分子 \(1\) 和 \(3\) 的最小公倍数 \(lcm(1,3)=3\)，求两个分母 \(2\) 和 \(4\) 的最大公约数 \(gcd(2,4)=2\)，
故 \(\cfrac{1}{2}\) 和 \(\cfrac{3}{4}\) 的最小公倍数为 \(\cfrac{lcm(1,3)}{gcd(2,4)}=\cfrac{3}{2}\)；
解法2️⃣：将这两个分数，同时放到20倍，变成 \(10\) 和 \(15\)，求得 \(lcm(10,15)=30\)，然后再缩小20倍，得到 \(\cfrac{3}{2}\)；
知识储备
【最小公倍数法】如果 \(f(x)\) 是几个周期函数代数和形式的，即是：函数 \(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\) ，而 \(f_1(x)\) 的周期为 \(T_1\) ， \(f_2(x)\) 的周期为 \(T_2\) ，则函数 \(f(x)\) 的最小正周期 \(T\) 为 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数；[当最小正周期为 \(\pi\) 的分数倍数时，可以用弧度到角度的换算放大成整数，再求最小公倍数，然后转化回弧度制即可。]
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相关阅读：三角函数周期的求法-静雅斋数学-博客园
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[来自知乎 秫宛宛，解释通俗易懂，就贴上来了]我们对两个函数进行叠加，要求叠加之后的周期为多少。这很显然是求最小公倍数嘛。
我们知道实际上函数和数列本质上是一样的，只不过一般情况下函数的定义域是连续数集，而数列的定义域是正整数集 \(\mathbb{N}\) 罢了。在数列中，两个数一循环与三个数一循环叠加，就会变成六个数一循环，这个在平日里最常见的应用就是天干地支了。十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。然后就形成了干支表：
这里的干支表为什么是 60 个一循环，即以 60 为周期，就是因为 \(lcm(12,10)=60\) 。
典例剖析
快捷解法：不妨假设 \(h(x)=f(x)+g(x)\) ，那么 \(f(x)=h(x)−g(x)\) ， \(g(x)=h(x)−f(x)\)。那么我们叠加后的函数 \(h(x)\) 就是一个关于 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的一个加减关系的函数。简而言之，就是我们最大的周期可以通过较小的两个周期通过求最小公倍数得到的。我们只需要通过 \(1\) 这个周期和选项内的两个数中选最小的两个数求最小公倍数来得到我们想要的答案。具体解答如下：
由于 \(lcm(1,1)=1\)，故 \(A\) 错误；
由于 \(lcm(\cfrac{2}{4},\cfrac{3}{4})=\cfrac{6}{4}=\cfrac{3}{2}\)，故 \(B\) 错误；
由于 \(lcm(\cfrac{3}{4},\cfrac{4}{4})=\cfrac{12}{4}=3\)，故 \(C\) 错误；
由于 \(lcm(\cfrac{2}{2},\cfrac{3}{2})=\cfrac{6}{2}=3\)，故 \(D\) 正确；
例证解答【题目强调存在性】：设 \(f(x)=\cos \cfrac{4 \pi}{3} x\)， \(g(x)=\sin2 \pi x-\cos \cfrac{4 \pi}{3} x\) ，
可知 \(f(x)\) 的周期 \(T_1=\cfrac{2 \pi}{\frac{4 \pi}{3}}=\cfrac{3}{2}\)，
根据 \(y=\sin 2 \pi x\) 的周期 \(T_3=\cfrac{2 \pi}{2 \pi}=1\) ， \(y=-\cos \cfrac{4 \pi}{3} x\) 的周期 \(T_4=\cfrac{2 \pi}{\cfrac{4 \pi}{3}}=\cfrac{3}{2}\) ，
可得 \(g(x)=\sin2 \pi x-\cos \cfrac{4\pi}{3} x\) 的周期 \(T_2=3\)，
此时 \(f(x)+g(x)=\sin 2 \pi x\) ，最小正周期 \(T=1\)，
综上所述， \(\color{red}{存在}\) \(f(x)\) 的周期 \(T_1=\cfrac{3}{2}\)，\(g(x)\) 的周期 \(T_2=3\) ，使 \(f(x)+g(x)\) 的周期为 \(1\)， \(D\) 项符合题意，故选：\(D\)．
反思提升
看完这两种解法，我的心里还是有疑问，故此咨询 AI，“两个长周期的函数的代数和的周期是不是更长”，结果 AI 给出了以下的解答：两个周期函数的代数和的周期不一定更长，它取决于这两个函数的周期之间的关系。
那么，周期函数的和的周期性到底是怎么样的呢？
设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是周期函数，周期分别为 \(T_1\) 和 \(T_2\) 。那么它们的代数和 \(h(x)=f(x)+g(x)\) 是否是周期函数？如果是，周期是多少？
①．如果 \(T_1\) 和 \(T_2\) 是可公度的（即 \(\cfrac{T_1}{T_2}\) 是有理数），那么 \(h(x)\) 仍然是周期函数，其周期为 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数（在周期意义上的最小公共周期）。
②．如果 \(\cfrac{T_1}{T_2}\) 是无理数，那么 \(h(x)\) 不是周期函数。
进一步举例说明：
1、周期变长：\(f(x)=\sin\pi x\)，周期 \(T_1=2\)，\(g(x)=\sin\cfrac{2\pi}{3}x\)，周期\(T_2=3\)，那么 \(h(x)=f(x)+g(x)\) 的周期是 \(T=lcm(2,3)=6\) .
2、周期不变：\(f(x)=\sin\pi x\)，周期 \(T_1=2\)，\(g(x)=\sin\pi x\)，周期\(T_2=2\)，那么 \(h(x)=f(x)+g(x)=2\sin\pi x\) 其周期\(T=2\)，周期不变 .
3、周期更短：\(f(x)=\sin\pi x\)，周期 \(T_1=2\)，\(g(x)=-\sin\pi x\)，周期\(T_2=2\)，那么 \(h(x)=f(x)+g(x)=0\) 为常函数，其周期是任意非零实数，最小正周期不存在 .
4、没有周期：\(f(x)=\sin x\)，周期 \(T_1=2\pi\)，\(g(x)=\sin\pi x\)，周期\(T_2=2\)，由于 \(\cfrac{T_1}{T_2}\)\(=\)\(\pi\) 是无理数 ，那么 \(h(x)\)\(=\)\(f(x)+g(x)\)\(=\)\(\sin x\)\(+\)\(\sin\pi x\) 不是周期函数 . 到此，已经研究的比较深入了，有点超出高三的学习范畴了，不过用 Desmos软件验证过图像，结论是正确的。
结论：两个长周期函数的代数和的周期不一定更长，可能：是它们周期的最小公倍数（更长），等于原周期（如果周期相同），不存在（如果周期不可公度），甚至退化为常数（周期任意小）。