2025-08-31 21:59:08 星期日
魔法部能不能给我一个时间转换器！能让我一天复习五门课！想一想大三下学期就知道为什么三年级的时候赫敏对着罗恩哈利那么凶巴巴的了.
本节讨论紧性compact.
定义 设 \(\{U_\alpha\}\) 是空间 \(X\) 的子集族，若 \(\bigcup_\alpha U_\alpha = X\)，则称 \(\{U_\alpha\}\) 是 \(X\) 的一个覆盖。若 \(\forall \alpha\)，\(U_\alpha\) 是开集，则称 \(\{U_\alpha\}\) 是一个开覆盖。
定义 (紧空间) 若 \(X\) 的任何开覆盖都有有限子覆盖，则称 \(X\) 是紧的。
例 3 任何一个仅含有限个点的空间 \(X\) 是紧的。
例 4 \((0,1]\) 不是紧的。
证明 考虑开覆盖 \(\{U_n\}_{n=1}^\infty\)，其中 \(U_n = (\frac{1}{n}, 1]\)。显然 \(\bigcup_{n=1}^\infty U_n = (0,1]\)，但该覆盖没有有限子覆盖。
引理 26.1 设 \(Y\) 是 \(X\) 的子空间，则 \(Y\) 是紧的 \(\Leftrightarrow\) 由 \(X\) 的开集组成的 \(Y\) 的每一个覆盖都包含一个覆盖 \(Y\) 的有限子族。
证明
\((\Rightarrow)\) 设 \(Y\) 是紧的，任取 \(X\) 的开集族 \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\) 满足 \(Y \subseteq \bigcup_\alpha U_\alpha\)。考虑 \(Y\) 的开覆盖 \(\{Y \cap U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\)。由 \(Y\) 的紧性，存在有限子覆盖 \(\{Y \cap U_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\)，则 \(\{U_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\) 是所求的有限子族。
\((\Leftarrow)\) 任取 \(Y\) 的一个开覆盖 \(\{V_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\)。由子空间拓扑，存在 \(X\) 的开集 \(U_\alpha\) 使得 \(V_\alpha = Y \cap U_\alpha\)。则 \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\) 是 \(X\) 的开集族且覆盖 \(Y\)。由条件，存在有限子族 \(\{U_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\) 覆盖 \(Y\)，则 \(\{V_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\) 是 \(Y\) 的有限子覆盖。故 \(Y\) 紧。
定理 26.2 紧空间的任意闭子集都是紧的。
证明 设 \(X\) 紧，\(A \subseteq X\) 为闭集。设 \(\{G_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\) 为 \(X\) 的开集族且 \(A \subseteq \bigcup_\alpha G_\alpha\)。则
由 \(X\) 的紧性，存在有限子覆盖：
从而 \(A \subseteq G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}\)，故 \(A\) 紧。
定理 26.3 Hausdorff 空间的每一个紧子空间都是闭的。
证明 设 \(X\) 为 Hausdorff 空间，\(Y \subseteq X\) 为紧子集。证 \(Y\) 闭，即证 \(Y^c\) 开。
任取 \(x \in Y^c\)。由 Hausdorff 性，对每个 \(y \in Y\)，存在不相交的开集 \(U_y\) 和 \(V_y\) 使得 \(x \in U_y\)，\(y \in V_y\)。则 \(\{V_y \cap Y\}_{y \in Y}\) 是 \(Y\) 的开覆盖。由 \(Y\) 的紧性，存在有限子覆盖 \(\{V_{y_1} \cap Y, \dots, V_{y_n} \cap Y\}\)。
令 \(U = U_{y_1} \cap \cdots \cap U_{y_n}\)，则 \(U\) 是 \(x\) 的开邻域，且 \(U \cap Y = \emptyset\)（因 \(U \cap V_{y_k} = \emptyset\) 对每个 \(k\)）。故 \(x\) 为内点，\(Y^c\) 开，即 \(Y\) 闭。
习题
- (a) 设 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 是 \(X\) 的两个拓扑，并且 \(\mathcal{T}' \supset \mathcal{T}\)。\(X\) 关于其中哪一个拓扑是紧致的可以推出对另一个拓扑 \(X\) 是紧致的？
(b) 证明：若 \(X\) 关于 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 都是紧致的 Hausdorff 空间，则或者 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 相等，或者它们不能比较。
- (a) 证明：相对于有限补拓扑而言，\(\mathbb{R}\) 的任何子集都是紧致的。
(b) 由 \(\mathbb{R}\) 的满足 \(\mathbb{R} - A\) 是一个可数集或者是整个 \(\mathbb{R}\) 的所有子集 \(A\) 构成的 \(\mathbb{R}\) 的拓扑，相对于这个拓扑 \([0, 1]\) 是紧致子空间吗？
- 证明：紧致子空间的有限并是紧致的。
- 证明：度量空间的每一个紧致子空间，对于给定的度量而言是有界的并且是闭的。找一个度量空间，在它里面并不是每一个有界闭子集都是紧致的。
- 设 \(A\) 和 \(B\) 是一个 Hausdorff 空间中的两个无交的紧致子空间。证明存在分别包含 \(A\) 和 \(B\) 的无交的开集 \(U\) 和 \(V\)。
- 证明：若 \(f: X \rightarrow Y\) 是连续的，其中 \(X\) 是紧致的，\(Y\) 是 Hausdorff 的，则 \(f\) 是闭映射（也就是 \(f\) 将闭集映为闭集）。
- 证明：若 \(Y\) 是紧致的，则投射 \(\pi_1: X \times Y \rightarrow X\) 是闭映射。
- 定理 设 \(f: X \to Y\)，\(Y\) 是紧致的 Hausdorff 空间。则 \(f\) 连续当且仅当 \(f\) 的图形（graph）
\[G_f = \{x \times f(x) \mid x \in X\} \]是 \(X \times Y\) 的闭集。[提示：若 \(G_f\) 是闭的，\(V\) 是 \(f(x_0)\) 的一个邻域，则 \(G_f\) 与 \(X \times (Y - V)\) 的交为闭集。应用习题 7 的结论。]
- 下面是管状引理的推广：
定理 设 \(A\) 和 \(B\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 的子集，\(N\) 是 \(X \times Y\) 中包含 \(A \times B\) 的一个开集。若 \(A\) 和 \(B\) 都是紧致的，则在 \(X\) 和 \(Y\) 中分别存在开集 \(U\) 和 \(V\)，使得\[A \times B \subset U \times V \subset N. \]
- 设 \(p: X \to Y\) 是一个闭连续满射，对于每一个 \(y\)，\(p^{-1}(\{y\})\) 是一个紧致空间。（这样的映射也称之为完备映射 (perfect map)。）证明：若 \(Y\) 是紧致的，则 \(X\) 是紧致的。[提示：若 \(U\) 是包含 \(p^{-1}(\{y\})\) 的一个开集，那么存在一个 \(y\) 的邻域 \(W\)，使得 \(p^{-1}(W)\) 被 \(U\) 所包含。]