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二进制简史：从理论到芯片

news 2025/8/4 12:27:41

前言

日升日落划为一天，地球绕日一圈为一年，一年大约为 365 天...这些都是进制的一种，我认为进制是对物理始末状态变化间的某种度量。

在数学上，1是各种进制的基础，某数位达到多少就向更高位进1，如日常生活常用的十进制，其数位上的数字只能是0~9中的某一个，超过9达到10就得向高位进1。

事实上，二进制与我们离得也很近。先来看看二进制的简单介绍吧。

二进制简介

二进制逢二进一，基数只有两个：0和1。它可以表示很多逻辑，如黑与白、开与关......

将二进制转十进制：

\[\begin{align*} A &= a_n a_{n-1} \cdots a_1 a_0 . a_{-1} a_{-2} \cdots a_{1-m} a_{-m} \\ \text{Value}(A) &= \sum_{i=-m}^{n} a_i \times 2^i \end{align*} \]

如\(A = 1101.1\)，则\(Value(A) = 2^3 + 2^2 + 0 + 2^0 + 2^{-1}\)。

二进制转16进制的做法：从小数点开始向左和向右两个方向每4位数为1组替换为一个16进制数。反过来就是16进制转二进制的做法。如二进制101001.01转为16进制就是29.4。

二进制的应用可以说是已经与我们的生活紧密交织在一起了。只是我们一般看到的是它“加工”后的样子。计算机中的文本、图像、音视频都是二进制数据，其中单个的0和1被称为1比特。这些二进制数据会由处理芯片处理转换为输出设备（打印机、显示器、音响等）支持的信号格式。

那么二进制是为什么又如何应用在计算机上了呢？

二进制与电路的碰撞火花🎇

17世纪，莱布尼茨认为可以使用二进制替换十进制，并提出了二进制的逻辑运算法则。

到了19世纪中叶，英国数学家乔治·布尔（George Boole）提出了布尔代数。传统代数是处理数字的，而布尔代数用于处理某类事物（现称为集合）。布尔代数可用于集合运算（交∩、并∪）和逻辑运算（与AND、或OR、非NOT），它用1代表全集，用0代表空集。可惜当时白炽灯还未诞生，布尔没有将其研究与电路联系起来，但也为后续的发展的做了铺垫。

1937年，当时在MIT攻读硕士的克劳德·香农（Claude Shannon）在其划时代的硕士论文《继电器与开关电路的符号分析》中做出了决定性贡献。这篇论文首次证明，布尔代数可以完美地映射到由开关（如继电器）组成的电路中：电路的通（1）与断（0）状态能用布尔代数分析。他的工作为现代数字电路设计提供了核心原理。

继电器工作图-by circuitjs

继电器工作原理：继电器线圈的控制开关闭合后，线圈通电，通过电磁感应产生磁力，吸引被弹簧顶上去的金属片。

二进制编码的转折点🎉

尽管香农证明了布尔代数与开关电路的联系，但这一理论当时并未成为工程共识，电子工程界（尤其军事项目）更关注硬件实现（继电器和真空电子管），而非数学优化（二进制与十进制）。

说到真空管，得先说说电灯泡。

爱迪生发明高阻值碳灯丝真空白炽灯后，为了延长灯丝寿命，他在灯丝上固定一根铜丝，来阻止灯丝升华。虽然结果无效，但是他发现没有与灯丝直接连接的铜丝上竟然有电流！这就是爱迪生效应——热电子发射现象，被加热灯丝的电子发射到了铜丝上。

爱迪生效应示意图

十几年后，弗莱明基于此接了一个电源，铜丝接正极，灯丝接负极，结果发现铜丝上的电流大大增加。但将正负极一换，电流就没了。于是具有单向导电性的真空电子二极管就诞生了。

二极管的使用

又过了两年，德福雷斯特在铜丝与灯丝之间加了一线圈并通电，正极接铜丝，负极接灯丝和线圈，发现电流增加，若一换方向，电流就减小，也就是说通过该线圈可放大或控制产生的电流大小。这线圈被称为栅(shan)极。这个装置称为真空电子三极管。

+------------------+
|     阳极 (Plate) |
|      (+电压)     |
+------------------+↑栅极 (Grid)(-/+ 控制电压)↑
+------------------+
|     阴极 (Cathode)|
|   ← 灯丝加热 →    |
+------------------+↓电源负极

说回正题，促使计算机全面转向二进制编码的转折点是冯·诺依曼的一篇报告。1945年，冯·诺依曼在参与ENIAC后续项目EDVAC时，发表了《EDVAC报告草案》，明确提出了二进制系统的优点（见算术运算的原理）：

使用真空管构建“全有或全无”的触发电路，具备两个稳定状态，这是最简单的设计。这种设计与人类神经元的工作方式类似，便于实现数字逻辑。
真空管的工作特性使二进制成为自然选择。非真空管设备通过“缩放”并行操作加速计算，但需更多元件。
二进制简化了乘法和除法操作，避免了复杂的十进制乘法表。所有内部运算建议使用二进制，输入输出部分负责十进制与二进制的转换。
二进制乘法可能需要约1000–1500步，而十进制仅约100步，但代价是设备复杂度增加。真空管设备反应时间快（约1微秒），可接受高步数运算。加法和减法更快，仅需30–50步。最优策略是减少元件数量，而不是增加并行度。

ENIAC是世界上第二台电子计算机、第一台通用计算机，使用真空电子管和十进制计数，没有存储，且体积十分庞大，主要由大量电子元件构成，其中包括17,468根真空管等。ENIAC的计算速度为每秒5000次加法或400次乘法，远超当时的机电计算机，运算速度是其1000倍、手工计算的20万倍。

更适合二进制的元件：晶体管

真空电子管的缺点显而易见：需要真空环境、需要加热。晶体管的出现解决了这些问题，并使计算机跨入全新时代。

在1947年，晶体管由约翰·巴丁、沃尔特·布拉顿和威廉·肖克利所发明。巴丁、布拉顿主要发明半导体三极管（锗）；肖克利则是提出了更易生产的晶体管结构——晶体管PN结模型。1950年，肖克利实现理论、开发出了双极晶体管（Bipolar Junction Transistor，BJT），这也是现在通行的标准的晶体管。

BJT包含三个区域：发射区（Emitter）— 基区（Base）— 集电区（Collector）。发射区或发射极E注入载流子（电子或空穴），基区或基极B控制载流子流动，集电区或集电极C收集穿过基区的载流子。

通过参杂磷或硼，可以制造出N型半导体（载流子为电子）或P型半导体（载流子为空穴）。刚开始的时候，电子会从 N 型区域跑向 P 型区域，填补那些“空位”。这一过程会在交界处形成一个“电势墙”（也叫势垒），像是在门口立了一道“检查岗”。如果你给电路接上电源，并让电子顺着“检查岗”方向流动（正向偏置），电子就能顺利通过——电流形成了。如果你把电源反过来（反向偏置），电子会被势垒挡住。

相比真空管，晶体管可在低电压下工作，发热更少，但量变产生质变，现如今的超大规模集成电路需要借助辅助设备散热。