北大 2024 强基数学

\(\text{T1}\)：求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{2024}\left[\dfrac{19^i}{20}\right]\) 模 \(7\) 的余数.
\(\text{T2}\)：求 \(\sin^{3}6^\circ-\sin^3114^\circ+\sin^3126^\circ\).
\(\text{T3}\)：求满足不存在 \(12,23,34,\dots,78\) 的 \(1\sim8\) 的排列的数量.
\(\text{T4}\)：已知数列 \(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\dots\)，求 \(a_{2024}\) 模 \(5\) 的余数.
\(\text{T5}\)：求满足 \(a_i\in\{1,2,3\},10<a_1a_2a_3a_4<20\) 的四元组 \((a_1,a_2,a_3,a_4)\) 的数量.
\(\text{T6}\)：求 \([0,2\pi)\) 上 \(2^{\cos x}=\sin x\) 解的个数.
\(\text{T7}\)：求 \(x(e^{x^4-1}-1)+(e^x-1)(x^4-1)=0\) 解的个数.
\(\text{T8}\)：求 \(x^2-13[x]+11=0\) 实解的个数.
\(\text{T9}\)：在体积为 \(1\) 的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，把正方体分成 \(8\) 个长方体，求这些长方体中体积不大于 \(\frac18\) 的长方体个数的最小值.
\(\text{T10}\)：在离心率为 \(\frac{\sqrt3}2\) 的椭圆中，\(P\) 为椭圆上一点，\(\angle F_1PF_2=\frac\pi3\)，\(|PF_1|-|PF_2|=3\)，求 \(S_{\Delta PF_1F_2}\).
\(\text{T11}\)：用 \(S(n)\) 表示 \(n\in\N+\) 的数码和，求满足 \(S(n+1)\) 与 \(S(n)\) 均为 \(5\) 的倍数的最小的 \(n\).
\(\text{T12}\)：称正整数 \(n\) 为好数，当它各位数字均不相同，且对于所有正整数 \(m\) 满足 \([\frac n{10^m}]>0\)，都有 \([\frac n{10^m}]|n\)，求最大好数.
\(\text{T13}\)：对于三角形 \(\Delta ABC\) 求 \(\cos A\cos B\cos C\) 的下确界.
\(\text{T14}\)：对于三角形 \(\Delta ABC\)，若 \(BC\) 边上的高为 \(\frac13a\)，求 \(\frac{(b+c)^2}{bc}\) 的范围.
\(\text{T15}\)：\(\Delta ABC\) 中，若 \(a=2,b=\sqrt2,c=2\sqrt2\)，\(D\) 在 \(BC\) 上，比较 \(AD^2\) 和 \(2DC\times DB\) 的大小.
\(\text{T16}\)：\(\Delta ABC\) 形外有一点 \(O\)，\(\angle BOC=2\angle A\)，\(OC\) 交 \(AB\) 于 \(D\)，\(OB=OC=3,OD=2\)，求 \(BD\times AD\).
\(\text{T17}\)：\(\Delta ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)，\(\Delta ABC\) 的外心和 \Delta ADC$ 的内心重合，求 \(C\).
\(\text{T18}\)：\(\Delta ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)，\(AB=AD=3,CD=2\)，求 \(\Delta ABC\) 的周长.
\(\text{T19}\)：\(\Delta ABC\) 中，求 \(2\sin A+\sin B+\sin C\) 的最小值.

• 备注：该题可能是外传出错，应该是算最大值.

\(\text{T20}\)：\(a_1=\sqrt2,a_{n+1}=[a_n]+\frac1{\{a_n\}}\)，求 \(S_{2024}\).

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\(\text{T13}\)：对于三角形 \(\Delta ABC\) 求 \(\cos A\cos B\cos C\) 的下确界.

解答

不是哥们，钝角三角形的目标函数负的。如果 $\cos C\lt0$，只要使得 $\cos A\cos B$ 最大即可。结果 $\cos A\cos B$ 最大值正好和 $\cos C$ 同时取。答案是 $-1$。。

\(\text{T17}\)：\(\Delta ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)，\(\Delta ABC\) 的外心和 \Delta ADC$ 的内心重合，求 \(C\).

解答

\[\begin{cases} \frac C2 = \frac A4\\ \frac 34A = B - \frac C2 \end{cases} \]

解得 \(C=\frac\pi {10}\).

\(\text{T11}\)：用 \(S(n)\) 表示 \(n\in\N+\) 的数码和，求满足 \(S(n+1)\) 与 \(S(n)\) 均为 \(5\) 的倍数的最小的 \(n\).

解答

$n$ 的个位肯定是 $9$，如果不是，那么 $S(n+1)=S(n)+1$ 是绝对不可能合题的.

\(n\) 的十位肯定是 \(9\)，如果不是，那么 \(S(n+1)=S(n)-9\) 是绝对不可能合题的.

\(n\) 的百位肯定是 \(9\)，如果不是，那么 \(S(n+1)=S(n)-17\) 是绝对不可能合题的.

\(n\) 的千位肯定是 \(9\)，如果不是，那么 \(S(n+1)=S(n)-26\) 是绝对不可能合题的.

\(n\) 的万位最小是 \(4\)，因为 \(S(n+1)=S(n)-35\)，\(S(n)=36+4=40\) 是最小的可以合题的数字.

\(\text{T4}\)：已知数列 \(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\dots\)，求 \(a_{2024}\) 模 \(5\) 的余数.

解答

$\dfrac{n(n+1)}{2}\lt 2024$ 得到 $n\leq 63$，答案即 $4$.

\(\text{T5}\)：求满足 \(a_i\in\{1,2,3\},10<a_1a_2a_3a_4<20\) 的四元组 \((a_1,a_2,a_3,a_4)\) 的数量.

解答

$25$.

\(\text{T20}\)：\(a_1=\sqrt2,a_{n+1}=[a_n]+\frac1{\{a_n\}}\)，求 \(S_{2024}\).

解答

很有意思的题，可惜写了几项就发现 $\{a_n\}=\sqrt{2}-1$，所以 $a_n=2(n-1)+\sqrt{2}$，那么 $S_{2024}=2024\times 2023+2024\sqrt 2$

\(\text{T10}\)：在离心率为 \(\frac{\sqrt3}2\) 的椭圆中，\(P\) 为椭圆上一点，\(\angle F_1PF_2=\frac\pi3\)，\(|PF_1|-|PF_2|=3\)，求 \(S_{\Delta PF_1F_2}\).

解答

高考题. 设 $PF_1=p>PF_2=q$.

\[\begin{cases} p-q=3\\ p+q=2a\\ p^2+q^2-pq=4c^2 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2=\frac{27}{8}\\ c^2=\frac{32}{81} \end{cases} \implies S=\frac{\sqrt3}3b^2=\frac{9\sqrt3}{32} \]

\(\text{T16}\)：\(\Delta ABC\) 形外有一点 \(O\)，\(\angle BOC=2\angle A\)，\(OC\) 交 \(AB\) 于 \(D\)，\(OB=OC=3,OD=2\)，求 \(BD\times AD\).

解答

$O$ 是外心不用赘述. 则 $OA=3$，在 $\Delta BDO$ 和 $\Delta OAD$ 中：

\[-\frac{BD^2-5}{2BD}=\frac{AD^2-5}{2AD}\\ BD^2AD-5AD+AD^2BD-5BD=0\\ (AD\times BD-5)(AD+BD)=0 \]

因为 \(AD+BD>0\) 所以 \(AD\times BD = 5\).

\(\text{T7}\)：求 \(x(e^{x^4-1}-1)+(e^x-1)(x^4-1)=0\) 解的个数.

解答

$$ x(e^{x^4-1}-1)=-(x^4-1)(e^x-1)\ $$

我们试图写出

\[\frac{e^{x^4-1}-1}{x^4-1}=-\frac{e^x-1}{x}\\ \]

但是首先需要满足 \(x\neq 0,x\neq\pm1\)，于是先验证，发现竟然都是根，那么若令

\[f(x)=\frac{e^x-1}{x} \]

则 \(f(x)>0\)，所以不存在除了上述三根之外的根.

\(\text{T6}\)：求 \([0,2\pi)\) 上 \(2^{\cos x}=\sin x\) 解的个数.

解答

画出图应该就可以看出来有两个解. 注意到 $x=\dfrac12\pi$ 为一个解，同时向右看两函数均单调递减，此时恰巧两函数是一凹一凸，应该只有一个解，所以与我们的图像吻合.

\(\text{T8}\)：求 \(x^2-13[x]+11=0\) 实解的个数.

解答

首先一个显著的观察家即，$x^2\in \Z$. 则设 $x=\sqrt{t}$，那么：

\[t=13[\sqrt{t}]-11 \]

因为 \([\sqrt{t}]^2\le t\)，所以 \(\dfrac{t}{[\sqrt{t}]}\ge [\sqrt{t}]\)，即 \(13\ge [\sqrt{t}]\)，所以只要枚举很少的 \([\sqrt{t}]\) 即可.

\(([\sqrt{t}],t)=\textbf{(1,2)},(10,119),(11,132),(12,145)\).

我看答案才发现漏了一个.

\(\text{T1}\)：求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{2024}\left[\dfrac{19^i}{20}\right]\) 模 \(7\) 的余数.

解答

观察到 $19\equiv -1\pmod {20}$，那么 $19^i\equiv \pm1\pmod{20}$，有了这个观察我们就可以消去 $\left[\dfrac{19^i}{20}\right]$，因为 $\left[\dfrac nm\right]=\dfrac{n-n\bmod m}m$，那么：

\[\left[\frac{19^i}{20}\right]=\dfrac{19^{i}+(-1)^i}{20} \]

则

\[S=\sum_{i=1}^{2024}\dfrac{19^{i}+(-1)^i}{20}=\sum_{i=1}^{2024}\dfrac{19^{i}}{20}=\dfrac{19}{18}(19^{2025}-1)\equiv 1\pmod 7 \]

\(\text{T2}\)：求 \(\sin^{3}6^\circ-\sin^3114^\circ+\sin^3126^\circ\)

解答

设 $\theta=6^\circ$，则

\[S=\sin^3\theta-\sin^{3}(120^{\circ}-\theta)+\sin^{3}(120^{\circ}-\theta)\\ =\sin^3\theta-2\cos^2\theta\sin\theta-\frac14\sin\theta\\ =-\dfrac94\cos^2\theta\sin\theta+\dfrac34\sin^3\theta\\ =-\dfrac34\sin3\theta\\ =\dfrac{3-3\sqrt5}{16} \]

\(\text{T12}\)：称正整数 \(n\) 为好数，当它各位数字均不相同，且对于所有正整数 \(m\) 满足 \([\frac n{10^m}]>0\)，都有 \([\frac n{10^m}]|n\)，求最大好数.

解答

人话就是正整数每一位数连带着更高为拎出来都是原数的因数.

原题提示了最大位数不可能超过四位，虽然这题肯定要考虑位数上限，但是一般只能想到比较平凡的抽屉原理……

进而考虑，因为可以轻松写出三四位数，所以最大的数肯定不是两位数，个位肯定是 \(0\). 那么此时设 \(d=\overline{a_ka_{k-1}\dots a_{3}}\)，就有 \(n=100d+\overline{a_2a_1}\)，那么因为 \(a_2\ne0\)，又 \(d\ |\ n\)，所以 \(d\ |\ \overline{a_2a_1}\)，在 \(k>4\) 的情况下是无法成立的，所以 \(d=0.5\overline{a_2a_1}\) 是最大值取到的情况. 枚举 \(a_2\)，找到最大是 \(3570\).

\(\text{T9}\)：在体积为 \(1\) 的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，把正方体分成 \(8\) 个长方体，求这些长方体中体积不大于 \(\frac18\) 的长方体个数的最小值.

解答

我们可以把坐标系旋转使得选中点的坐标为 \((a,b,c)\)，其中 \(a,b,c\in(0,\frac12]\).

我们证明一个结论，也就是对于任何 \(a,b,c\in(0,1)\)，\(abc\) 和 \((1-a)(1-b)(1-c)\) 中必然有一个不大于 \(\frac18\).

考虑到 \(a(1-a)\ge\frac14\)，\(b(1-a)\ge\frac14\)，\(c(1-c)\ge\frac14\)，于是 \(abc(1-a)(1-b)(1-c)\ge \frac1{64}\)，那么命题得证.

所以我们挑选一对只共享一个顶点的长方体，必有一个体积不大于 \(\frac18\).

答案为 \(4\)，你当然可以构造.

\(\text{T15}\)：\(\Delta ABC\) 中，若 \(a=2,b=\sqrt2,c=2\sqrt2\)，\(D\) 在 \(BC\) 上，比较 \(AD^2\) 和 \(2DC\times DB\) 的大小.

解答

如图，作商法，则：

\[\frac{AD^2}{2DC\times DB}=\frac{\sin C\sin B}{2\sin\angle DAB\sin\angle CAD}=\frac{\sin C\sin B}{\cos(\angle CAD-\angle BAD)-\cos(\angle CAD+\cos \angle BAD)}\\ \ge \frac{\sin B\sin C}{1-\cos A}=\frac74\gt1 \]

\(\text{T18}\)：\(\Delta ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)，\(AB=AD=3,CD=2\)，求 \(\Delta ABC\) 的周长.

解答

$$ \begin{cases} \frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\implies BD\cdot CA=6\\ \frac{BD^2+5}{6BD}=\frac{9+(BD+4)^2-AC^2}{6(BD+2)} \end{cases} \implies \begin{cases} BD=1.5\\ AC=4 \end{cases} $$

\[\therefore C=\frac{21}2. \]

\(\text{T3}\)：求满足不存在 \(12,23,34,\dots,78\) 的 \(1\sim8\) 的排列的数量.

解答

考虑容斥原理，

\[N=8!+\sum_{i=1}^{7} (8-i)!\times\binom{7}{i}\times(-1)^i=16687 \]

\(\text{T14}\)：对于三角形 \(\Delta ABC\)，若 \(BC\) 边上的高为 \(\frac13a\)，求 \(\frac{(b+c)^2}{bc}\) 的范围.

解答

最小值根据基本不等式，取到 $4$ 完全没问题.

问题转向最大值处理.

\[\begin{cases} \frac13a^2=bc\sin A\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \end{cases} \\ \implies b^2+c^2=2bc\cos A+3bc\sin A\\ S=\frac{b^2+c^2}{bc}+2\\ =2\cos A+3\sin A+2\\ \le 2+\sqrt{13} \]

所以 \(4\le S\le 4+\sqrt{13}\).

\(\text{T19}\)：\(\Delta ABC\) 中，求 \(2\sin A+\sin B+\sin C\) 的最小值.

解答

又来？

退化时取到理论下界 \(0\)（三个角是 \(0+0+\pi\)）.

\(\overline{\text T19}\)：\(\Delta ABC\) 中，求 \(2\sin A+\sin B+\sin C\) 的最大值.

解答

其实也不难.

\[2\sin A+\sin B+\sin C\\ =2\sin A+\sin\frac{B+C}{2}\cos\frac{B-C}{2}\\ \le2\sin A+2\cos\dfrac A2(B=C)\\ \]

应该指出

\[f'=-8\sin^2\frac A2-2\sin \frac A2+4 \]

则 \(A=2\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt{33}-1}{8}\)，\(f_{\max}=2\sin 2\theta+2\cos\theta\)，然而没人想算.

这题出的算是比较失败的. 技巧是不难的，区分度是没有的，计算是神人的，数据是不凑的，学生是疑惑的，批阅老师是痛苦的，谁在偷偷笑啊，好难猜啊. 出题老师这么出可以，家里的那两位这一块./