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news 2025/7/27 6:54:08

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集合卡尔曼滤波（Ensemble Kalman Filter）

文章目录

引言
理论基础
- 卡尔曼滤波
- 集合卡尔曼滤波
- - 初始化
  - 预测步骤
  - 更新步骤
  - 卡尔曼增益
  - 更新集合
MATLAB 实现
运行结果
3. 应用领域
结论

引言

集合卡尔曼滤波（Ensemble Kalman Filter, EnKF）是一种基于状态估计的非线性滤波方法，广泛应用于动态系统中的状态估计和数据同化问题。它通过使用一组样本（即“集合”）来近似状态的概率分布，有效地处理高维和非线性系统。

理论基础

卡尔曼滤波

卡尔曼滤波是一种递归算法，用于估计线性动态系统的状态。其基本模型可以描述为：

状态方程：
$x_k = Ax_{k-1} + Bu_k + w_k$
其中， $x_k$ 是当前状态， $A$ 是状态转移矩阵， $B$ 是控制输入矩阵， $u_k$ 是控制输入， $w_k$ 是过程噪声，通常假设为高斯分布。
测量方程：
$z_k = Hx_k + v_k$
其中， $z_k$ 是测量值， $H$ 是测量矩阵， $v_k$ 是测量噪声，通常也假设为高斯分布。

集合卡尔曼滤波

当系统是非线性时，传统卡尔曼滤波的假设可能不再成立，因此需要引入集合卡尔曼滤波。EnKF的基本思想是使用一组状态样本来表示状态分布。具体步骤如下：

初始化

生成初始状态的集合：
$X_0 = \{x_0^1, x_0^2, \ldots, x_0^{N}\}$
其中， $N$ 是集合的大小。通常，样本是从初始状态的概率分布中采样。

预测步骤

根据状态方程更新每个样本：
$x_k^i = A x_{k-1}^i + B u_k + w_k^i \quad (i = 1, 2, \ldots, N)$
其中， $w_k^i$ 是从过程噪声分布中采样的噪声。

更新步骤

计算样本的均值和协方差：

均值：
$\bar{x}_k = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_k^i$
协方差：
$P_k = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_k^i - \bar{x}_k)(x_k^i - \bar{x}_k)^T$

根据测量方程计算创新和创新协方差：

创新：
$y_k = z_k - H \bar{x}_k$
创新协方差：
$S_k = H P_k H^T + R$
其中， $R$ 是测量噪声的协方差。

卡尔曼增益

计算卡尔曼增益：
$K_k = P_k H^T S_k^{-1}$

更新集合

最后，更新每个样本：
$x_k^i = x_k^i + K_k y_k \quad (i = 1, 2, \ldots, N)$

MATLAB 实现

以下是基于上述理论的 MATLAB 代码示例，用于实现集合卡尔曼滤波：

% 集合卡尔曼滤波示例
% 2024-11-12/Ver1
clear; clc; close all; % 清除工作空间，清空命令窗口，关闭所有图形窗口
rng(0); % 设置随机数生成器的种子，以确保结果可重复% 参数设置
n = 4; % 状态维度（4个状态变量）
m = 2; % 测量维度（2个测量变量）
N = 100; % 时间步数（总共进行100个时间步的模拟）
num_ensemble = 10; % 集合成员数量（使用10个样本进行估计）
process_noise_cov = 1e-5 * eye(n); % 过程噪声协方差矩阵（小值，表示低噪声）
measurement_noise_cov = 1 * eye(m); % 测量噪声协方差矩阵（较大值，表示较高噪声）% 初始化真实状态
true_state = zeros(n, N); % 创建一个n行N列的零矩阵，用于存储真实状态
true_state(:, 1) = [1; 0; 2; 1]; % 设置初始真实状态（X位移、X速度、Y位移、Y速度）T = 1; %时间间隔
% 状态转移矩阵
A = [1 T 0 0;  % 状态转移矩阵，定义如何从一个状态转移到下一个状态0 1 0 0; 0 0 1 T; 0 0 0 1];% 测量矩阵
H = [1 0 0 0; % 测量矩阵，定义如何从状态生成测量值0 0 1 0];