网站产品预算,电子商务网站设计小结,wordpress指定侧边栏,深圳自助建站牛顿二项式定理 简单的二项式整数次幂展开的结果中的规律结果中各项的指数结果中各项的系数 二项式定理 牛顿二项式定理就是用来求某个二项式的整数次幂的展开式的。
简单的二项式整数次幂
我们可以先从简单的情况开始#xff0c;比如二项式 ( a b ) (ab) (ab)的整数次幂比如二项式 ( a b ) (ab) (ab)的整数次幂 ( a b ) 0 1 ( a b ) 1 a b ( a b ) 2 a 2 2 a b b 2 ( a b ) 3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 (ab)^01 \\ (ab)^1ab \\ (ab)^2a^22abb^2 \\ (ab)^3a^33a^2b3ab^2b^3 (ab)01(ab)1ab(ab)2a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3 这几个等式都比较简单具体的展开过程就不赘述了。但是如果指数再往上增加展开的难度就会急剧上升比如当指数为4时 ( a b ) 4 ( a b ) 3 ( a b ) ( a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 ) ( a b ) a 4 3 a 3 b 3 a 2 b 2 a b 3 a 3 b 3 a 2 b 2 3 a b 3 b 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4 \begin{align*} (ab)^4 (ab)^3(ab) \\ (a^33a^2b^3ab^2b^3)(ab) \\ a^4 3 a^3b3a^2b^2 ab^3a^3b3a^2b^23ab^3b^4 \\ a^44a^3b6a^2b^24ab^3b^4 \end{align*} (ab)4(ab)3(ab)(a33a2b3ab2b3)(ab)a43a3b3a2b2ab3a3b3a2b23ab3b4a44a3b6a2b24ab3b4
展开的结果中的规律
但是好在这些结果都是有规律的现在还不大能看出来但是如果把上面4个等式这样写就很清晰了 ( a b ) 0 a 0 b 0 ( a b ) 1 a 1 b 0 a 0 b 1 ( a b ) 2 a 2 b 0 2 a 1 b 1 a 0 b 2 ( a b ) 3 a 3 b 0 3 a 2 b 1 3 a 1 b 2 a 0 b 3 ( a b ) 4 a 4 b 0 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4 a 0 \begin{align*} (ab)^0 a^0b^0 \\ (ab)^1 a^1b^0a^0b^1 \\ (ab)^2 a^2b^02a^1b^1a^0b^2 \\ (ab)^3 a^3b^03a^2b^13a^1b^2a^0b^3 \\ (ab)^4 a^4b^04a^3b6a^2b^24ab^3b^4a^0 \end{align*} (ab)0(ab)1(ab)2(ab)3(ab)4a0b0a1b0a0b1a2b02a1b1a0b2a3b03a2b13a1b2a0b3a4b04a3b6a2b24ab3b4a0
结果中各项的指数
还不够清晰的话我们把等式左边都去掉把系数也都去掉 a 0 b 0 a 1 b 0 a 0 b 1 a 2 b 0 a 1 b 1 a 0 b 2 a 3 b 0 a 2 b 1 a 1 b 2 a 0 b 3 a 4 b 0 a 3 b a 2 b 2 a b 3 b 4 a 0 a^0b^0 \\ a^1b^0a^0b^1 \\ a^2b^0a^1b^1a^0b^2 \\ a^3b^0a^2b^1a^1b^2a^0b^3 \\ a^4b^0a^3ba^2b^2ab^3b^4a^0 a0b0a1b0a0b1a2b0a1b1a0b2a3b0a2b1a1b2a0b3a4b0a3ba2b2ab3b4a0 一个很经典的金字塔造型。一行一行来看的话每一行的式子中
都是 a a a和 b b b的不同指数幂的乘积的和 a a a和 b b b的指数一个递增、一个递减
用统一的式子来表达就是 ∑ k 0 n a n − k b k \sum_{k0}^{n}a^{n-k}b^k k0∑nan−kbk 其中 k k k和 n n n都是整数 k k k的范围为 [ 0 , n ] [0,n] [0,n] 结果中各项的系数
现在我们再单独来看之前被我们拿掉的系数 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ⋯ 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ \cdots 111121133114641⋯ 这个金字塔大家应该很熟悉吧这就是著名的杨辉三角西方叫帕斯卡三角。
三角中的两个斜边和上顶点都是1其他的数是它头上的两个数的和
乍一看这个规律很难总结但是如果把它们换成组合数的话: C 0 0 C 1 0 C 1 1 C 2 0 C 2 1 C 2 2 C 3 0 C 3 1 C 3 2 C 3 3 C 4 0 C 4 1 C 4 2 C 4 3 C 4 4 ⋯ C_0^0 \\ C_1^0 \quad C_1^1 \\ C_2^0 \quad C_2^1 \quad C_2^2 \\ C_3^0 \quad C_3^1 \quad C_3^2 \quad C_3^3 \\ C_4^0 \quad C_4^1 \quad C_4^2 \quad C_4^3 \quad C_4^4 \\ \cdots C00C10C11C20C21C22C30C31C32C33C40C41C42C43C44⋯ 关于组合数的计算可以参考本专栏的《【文科生能看懂的】排列组合》 这样一眼就能看出规律来了吧用表达式总结就是: C n k C_n^k Cnk 其中 k k k和 n n n都是整数 k k k的范围为 [ 0 , n ] [0,n] [0,n] 二项式定理
将上面找出的结果中各项的指数和系数的规律总结到一起就成了二项式定理 ( a b ) n ∑ k 0 n C n k a n − k b k C n 0 a n b 0 C n 1 a n − 1 b 1 ⋯ C n n a 0 b n \begin{align*} (ab)^n \sum_{k0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k \\ C_n^0a^nb^0C_n^1a^{n-1}b^1\cdots C_n^na^0b^n \end{align*} (ab)nk0∑nCnkan−kbkCn0anb0Cn1an−1b1⋯Cnna0bn 也可以这样表示 ( a b ) n ∑ k 0 n ( n k ) a n − k b k ( n 0 ) a n b 0 ( n 1 ) a n − 1 b 1 ⋯ ( n n ) a 0 b n \begin{align*} (ab)^n \sum_{k0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}b^k \\ {n \choose 0}a^nb^0 {n \choose 1}a^{n-1}b^1\cdots {n \choose n}a^0b^n \end{align*} (ab)nk0∑n(kn)an−kbk(0n)anb0(1n)an−1b1⋯(nn)a0bn 其中 ( n k ) {n \choose k} (kn)称为二项式系数等于组合数 C n k C_n^k Cnk。
