立体几何
- 易错点：过圆锥顶点做截面所得面积最大值，并非垂直于底面最大。利用公式 \(S=\frac{1}{2}\sin \alpha\cdot l^2\)|（其中 \(l\) 为母线长不变）于是当垂直截面角度为钝角时,可以倾斜调整角度到\(\frac{\pi}{2}\)，这是面积最大
代数
- 反解法（好像是叫这个）：某一个立体几何题我的解法需要求解下式最小值
\[\frac{\sqrt{3}-\cos\theta}{\sqrt{7-2\sqrt{3}\cos\theta-3\cos^2\theta}},\theta\in(0,\pi)
\]
直接平方求导或基本不等式会出现较多的根式加分式的形式，看着不太想做，这时仍旧先平放，然后另其等于 \(k\)（\(\cos\theta\)用\(t\)代替）
\[\frac{t^2-2\sqrt{3}t+3}{-3t^2-2\sqrt{3}t+7}=k(k>0)
\]
\[(3k+1)t^2+2\sqrt{3}(k-1)t+3-7k=0
\]
原问题可以视为满足\(t,k\)之间存在函数关系的 \(k\) 的最小值。
在新问题中就是能使二次方程有解的 \(k\) 中最小的一个
于是可以求\(k\)的一个较大的范围
\[\Delta=12(k-1)^2-4(3k+1)(3-7k)=96k^2-32k\geq0
\]
\[k\geq\frac{1}{3}
\]
代入验证解得\(t=\frac{\sqrt{3}}{3}\in(-1,1)\)（完全平方式，很好解的）
所以原式最小值为\(\sqrt{k}=\frac{\sqrt3}{3}\)