驻马店住房和城乡建设厅网站,兼容移动端网站开发,网站建设说课获奖视频,湛江市住房建设局网站充分统计量 定义#xff1a; 设样本 X X X的服从分布 f ( X ∣ θ ) f(X|\theta) f(X∣θ)#xff0c; θ ∈ Θ \theta\in\Theta θ∈Θ#xff0c;设 T T ( X ) TT(X) TT(X)为一统计量#xff0c;若在已知 T T T的条件下#xff0c;样本 X X X的条件分布与参数 θ \the…充分统计量 定义 设样本 X X X的服从分布 f ( X ∣ θ ) f(X|\theta) f(X∣θ) θ ∈ Θ \theta\in\Theta θ∈Θ设 T T ( X ) TT(X) TT(X)为一统计量若在已知 T T T的条件下样本 X X X的条件分布与参数 θ \theta θ无关则称 T T ( X ) TT(X) TT(X)为 θ \theta θ的充分统计量 Example 设 X ( x 1 , x 2 , . . , x n ) X(x_1,x_2,..,x_n) X(x1,x2,..,xn)是从泊松分布 P ( λ ) P(\lambda) P(λ)中抽取的随机样本下面将从定义出发证明 T ( X ) ∑ i 1 n x i T(X)\sum_{i1}^nx_i T(X)∑i1nxi是 θ \theta θ的充分统计量 ∵ x i ∼ P ( λ ) ∴ ∑ i 1 n x i ∼ P ( n λ ) \because x_i \sim P(\lambda)\therefore\sum_{i1}^nx_i \sim P(n\lambda) ∵xi∼P(λ)∴∑i1nxi∼P(nλ)我们将其记为 T ∼ P ( θ ) , θ n λ T\sim P(\theta),\thetan\lambda T∼P(θ),θnλ 由已知可得样本的条件分布为 f ( X ∣ λ ) ∏ i 1 n e − λ λ x i x i ! e − n λ λ ∑ i 1 n x i ∏ i 1 n x i ! e − θ λ T ∏ i 1 n x i ! f(X|\lambda)\prod_{i1}^n\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x_i}}{x_i!}\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum_{i1}^nx_i}}{\prod_{i1}^nx_i!}\frac{e^{-\theta}\lambda^{T}}{\prod_{i1}^nx_i!} f(X∣λ)i1∏nxi!e−λλxi∏i1nxi!e−nλλ∑i1nxi∏i1nxi!e−θλT 此时样本 X X X的条件分布 f ( X ∣ λ ) f(X|\lambda) f(X∣λ)与参数 λ \lambda λ无关因此 T ( X ) ∑ i 1 n x i T(X)\sum_{i1}^nx_i T(X)∑i1nxi是 θ \theta θ的充分统计量
因子分解定理 从定义出发证明充分统计量显得有些繁琐因此我们引入因子分解定理 定义 设样本 X ( x 1 , x 2 , . . , x n ) X(x_1,x_2,..,x_n) X(x1,x2,..,xn)的条件分布为 f ( X ∣ θ ) f(X|\theta) f(X∣θ) θ ∈ Θ \theta\in\Theta θ∈Θ T T ( X ) TT(X) TT(X)为一统计量则 T T ( X ) TT(X) TT(X)是充分统计量的充分必要条件为条件分布为 f ( X ∣ θ ) f(X|\theta) f(X∣θ)可被分解为如下形式 f ( X ∣ θ ) g ( T ( X ) , θ ) ⋅ h ( X ) f(X|\theta)g(T(X),\theta)·h(X) f(X∣θ)g(T(X),θ)⋅h(X)也就是可被分解为两部分一部分仅与 T ( X ) T(X) T(X)和 θ \theta θ有关另一部分为一个常数或仅与样本 X X X有关。 重要推论 若 T T ( X ) TT(X) TT(X)是充分统计量 S g ( T ) Sg(T) Sg(T)是 T T T一一对应的变换则 S S S也是 θ \theta θ的充分统计量 Example 证明以下命题设 X ( x 1 , x 2 , . . , x n ) X(x_1,x_2,..,x_n) X(x1,x2,..,xn)为从正态总体 N ( a , σ 2 ) N(a,\sigma^2) N(a,σ2)中抽取的随机样本令 θ ( a , σ 2 ) \theta(a,\sigma^2) θ(a,σ2)则 T ( X ) ( ∑ x i ∑ x i 2 ) T(X)(\sum{x_i}\sum{x_{i}^2}) T(X)(∑xi∑xi2)为充分统计量且 ( X ‾ , S 2 ) (\overline{X},S^2) (X,S2)也是充分统计量此处 X ‾ 1 n ∑ x i , S 2 1 n − 1 ∑ ( x i − X ‾ ) 2 \overline{X}\frac{1}{n}\sum{x_i},S^2\frac{1}{n-1}\sum{(x_i-\overline{X})^2} Xn1∑xi,S2n−11∑(xi−X)2 由已知得样本的条件分布为 f ( x ) ( 1 2 π σ ) n exp ( − 1 2 σ 2 ∑ ( x i − a ) 2 ) ( 1 2 π σ ) n exp ( − 1 2 σ 2 ( ∑ x i 2 − 2 a ∑ x i n a 2 ) ) g ( T ( X ) , θ ) ⋅ h ( X ) \begin{aligned} f(x) (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})^n\exp(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum{(x_i-a)^2}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})^n\exp(-\frac{1}{2\sigma^2}(\sum{x_i^2}-2a\sum{x_i}na^2)) \\ g(T(X),\theta)·h(X) \end{aligned} f(x)(2π σ1)nexp(−2σ21∑(xi−a)2)(2π σ1)nexp(−2σ21(∑xi2−2a∑xina2))g(T(X),θ)⋅h(X) 此处的 h ( X ) ≡ 1 h(X)\equiv1 h(X)≡1至此 T ( X ) ( ∑ x i ∑ x i 2 ) T(X)(\sum{x_i}\sum{x_{i}^2}) T(X)(∑xi∑xi2)为充分统计量得证又因为 ( X ‾ , S 2 ) (\overline{X},S^2) (X,S2)为 T ( X ) ( ∑ x i ∑ x i 2 ) T(X)(\sum{x_i}\sum{x_{i}^2}) T(X)(∑xi∑xi2)一一对应的变换由推论可得 ( X ‾ , S 2 ) (\overline{X},S^2) (X,S2)也是充分统计量
理解
充分统计量对于简化计算是有显著的帮助的一一对应的变换可理解为一个函数样本的条件分布其实就是样本似然无论是从定义出发证明充分统计量还是通过因子分解定理都需要先求出样本的条件分布然后再选择一种方法从定义出发证明需要想方设法消除式子中原来的参数
