制作网站付费软件,表白网在线制作一键生成,房产网上查询,网站建设技术网站建设文章目录 比例恒等式(分式恒等式)分式等式链例 比例恒等式(分式恒等式) 设 a b c d \frac{a}{b}\frac{c}{d} badc(0)令这个比值为 k k k,则 a k b akb akb(0-1), c k d ckd ckd(0-2),以下恒等式在表达式有意义的情形下成立(例如分母不为0) 合比定理: a b b c d d \f… 文章目录 比例恒等式(分式恒等式)分式等式链例 比例恒等式(分式恒等式) 设 a b c d \frac{a}{b}\frac{c}{d} badc(0)令这个比值为 k k k,则 a k b akb akb(0-1), c k d ckd ckd(0-2),以下恒等式在表达式有意义的情形下成立(例如分母不为0) 合比定理: a b b c d d \frac{ab}{b}\frac{cd}{d} babdcd(1) 对式(0)两边同时加 1 1 1,得 a b 1 c d 1 \frac{a}{b}1\frac{c}{d}1 ba1dc1,通分得式(1) 分比定理: a − b b c − d d \frac{a-b}{b}\frac{c-d}{d} ba−bdc−d(2) 对式(0)两边同时减1,得式(2)也可以由合比定理将 b b b用 − b -b −b代替得到 合分比定理: a b c − b c d c − d \frac{ab}{c-b}\frac{cd}{c-d} c−babc−dcd(3) 由式(1)比去式(2),即得(3) a c \frac{a}{c} ca b d \frac{b}{d} db(4) 将(0-1,0-2)得 a c \frac{a}{c} ca k b k d \frac{kb}{kd} kdkb b d \frac{b}{d} db 若 a c b d k \frac{ac}{bd}k bdack,即 a b c d \frac{a}{b}\frac{c}{d} badc a c b d \frac{ac}{bd} bdac k k k(5) 由(0-1,0-2),得 a c b d \frac{ac}{bd} bdac k ( b d ) b d \frac{k(bd)}{bd} bdk(bd) k k k
分式等式链 推广:若 a 1 b 1 \frac{a_1}{b_1} b1a1 ⋯ \cdots ⋯ a n b n \frac{a_n}{b_n} bnan k k k,则 ∑ i 1 n a i ∑ i 1 n b i \frac{\sum_{i1}^{n}a_{i}}{\sum_{i1}^{n}b_{i}} ∑i1nbi∑i1nai k k k(6) 设 I { 1 , 2 , ⋯ , n } I\set{1,2,\cdots,n} I{1,2,⋯,n}, S S S是从 I I I中任意选出 m m m个元素构成的几何 ( m ∈ [ 1 , n ] , m ∈ N ) (m\in{[1,n]},m\in\mathbb{N_{}}) (m∈[1,n],m∈N),都有 ∑ i ∈ S a i ∑ i ∈ S b i \Large{\frac{\sum_{i\in S}a_{i}}{\sum_{i\in{S}}b_{i}}} ∑i∈Sbi∑i∈Sai k k k(6-1) ∑ i ∈ S k i a i ∑ i ∈ S k i b i \Large{\frac{\sum_{i\in S}k_{i}a_{i}}{\sum_{i\in{S}}k_{i}b_{i}}} ∑i∈Skibi∑i∈Skiai k k k,(6-2)其中 k i ∈ { − 1 , 1 } k_i\in\set{-1,1} ki∈{−1,1} 因为 a i b i − a i − b i \frac{a_{i}}{b_{i}}\frac{-a_{i}}{-b_{i}} biai−bi−ai k k k,再由结论(5),可知结论(6-2)成立
例
设 y x y z x z \frac{y}{x}\frac{yz}{xz} xyxzyz k k k,则 k 1 k1 k1 由性质(5), y x \frac{y}{x} xy y z − y x z − x \frac{yz-y}{xz-x} xz−xyz−y z z \frac{z}{z} zz1;所以 k 1 k1 k1,即 x y xy xy方法2: y k x ykx ykx; y z k x k z yzkxkz yzkxkz,联立得 k 1 k1 k1,即 x y xy xy
