2025-08-31 11:34:18 星期日
本节讨论道路连通. 真不想开学，更不想考试.
定义 24.1 (道路连通性) 设 \(x, y \in X\)。从 \(x\) 到 \(y\) 的一条道路为一个连续映射
满足 \(f(a) = x\)，\(f(b) = y\)。如果 \(X\) 中任意两点都可以用道路连接，则称 \(X\) 是道路连通的。
命题 道路连通空间是连通空间。
证明. 假设 \(X\) 是道路连通的但不是连通的，则存在非空开集 \(A, B \subset X\) 使得 \(X = A \cup B\) 且 \(A \cap B = \emptyset\)。
取 \(x \in A\)，\(y \in B\)。由于 \(X\) 道路连通，存在连续映射 \(f: [a, b] \to X\) 使得 \(f(a) = x \in A\)，\(f(b) = y \in B\)。
由于 \([a, b]\) 是连通的，\(f([a, b])\) 也是连通的。但 \(f([a, b]) \subset A \cup B\)，且 \(f([a, b]) \cap A \neq \emptyset\)，\(f([a, b]) \cap B \neq \emptyset\)，这与 \(f([a, b])\) 的连通性矛盾。故 \(X\) 是连通的。
命题 设 \(f: X \to Y\) 为连续满射。若 \(X\) 是道路连通的，则 \(Y\) 也是道路连通的。
证明. 任取 \(y_0, y_1 \in Y\)。由于 \(f\) 是满射，存在 \(x_0, x_1 \in X\) 使得 \(f(x_0) = y_0\)，\(f(x_1) = y_1\)。
因为 \(X\) 是道路连通的，存在连续映射 \(h: [0, 1] \to X\) 使得 \(h(0) = x_0\)，\(h(1) = x_1\)。
令 \(g = f \circ h: [0, 1] \to Y\)，则 \(g\) 是连续的，且满足 \(g(0) = f(x_0) = y_0\)，\(g(1) = f(x_1) = y_1\)。故 \(Y\) 是道路连通的。