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一、基础知识

1.1 十进制与二进制的转换

i 十进制整数转二进制

辗转除二方向取余法：把十进制数字辗转除以2直到商为0为止，然后反向（由下往上读）读取余法.

例如：十进制17转换为二进制

17/2 = 8  ... 1
8/2 = 4   ... 0
4/2 = 2   ... 0
2/2 = 1   ... 0
1/2 = 0   ... 1

把得到的余数由下往上读，十进制17的二进制表示形式为 10001

ii 十进制小数转二进制

十进制的小数乘以2，取乘积的整数部分作为二进制的一位，乘积的剩余小数继续乘以2，直至不存在剩余小数为止。
即：十进制的小数乘以2，记录下乘积的整数部分，接着判断乘积是否含有小数，若含有小数，把小数部分继续乘以2，在积累下乘积的整数部分，直到乘积是整数为止。

例如：十进制0.25可以转换为二进制

0.25 x 2 = 0.5  00.5 x 2 = 1     1

故十进制0.25 的二进制表示形式 01

例如：十进制0.2可以转换为二进制

0.2 x 2 = 0.4 	00.4 x 2 = 0.8   00.8 x 2 = 1.6   10.6 x 2 = 1.2   10.2 x 2 = 0.4   00.4 x 2 = 0.8   00.8 x 2 = 1.6   1
.........(乘积永远也得不到整数)

故十进制0.2 的二进制表示形式 0011001....，这也是浮点数在计算机中存储会出现精度丢失的原因。

1.2 科学记数法

科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。

例如：19971400000000=1.99714×10^13。计算器或电脑表达10的幂是一般是用E或e，也就是1.99714E13=19971400000000。

1.3 计算机中的浮点数科学记数法

浮点数：顾名思义是指 小数点可以任意浮动的数字。

浮点数和整数有所不同，那么在计算机中，是如何存储浮点数的呢？

我们引入科学记数法的概念：科学记数法是指把一个数字表示成a与10的n次幂相乘的形式。在我们用科学记数法记录较大的或较小的数字时，可以大大减少记录数字所需要的空间和时间。

在计算机中，浮点数的存储方式与科学记数法很相似，它把一个数字表示成了a与2的n次幂相乘的形式。

如：8.25  换算成二进制 (方法是:整数部分除二取余，小数部分乘二取整)8 -> 10000.25 -> 018.25  的二进制是 1000.01再用科学计算法表示1.00001 * 2^3任何小数都可以用 1.xxxx * 2^n表示1和小数点和指数2都是一样，xxxxx（尾数部分） 和n(指数部分)不一样的所以计算机中存  符号位 ，尾数部分，指数部分就可以了

二、C语言的浮点数

2.1 浮点数表示方法

1. 一般表示法
   
2. 指数表示法
   
3. 十六进制指数表示法
   略

2.2 浮点数的存储方式

计算机中的浮点数的存储方式遵循IEEE 754标准，存储格式分为三部分：符号部分、尾数部分（0.1 <= 尾数 < 1）和指数部分。

IEEE 754标准

IEEE 754标准采用的浮点数的格式：

ms为符号位，表示浮点数的符号。（1为负数，0为正数）
E为指数部分，需加上127偏移量。
M是尾数部分，尾数指小数点后面的部分。注意：在对阶规格化后，因为小数点前面的整数部分必须为1，所以IEEE754标准不会存储这个1，即指存小数点后的数值）

IEEE 754标准规定常用的浮点数格式有短浮点数（单精度、float）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数。

短浮点数数符占1位；阶码占8位，以2为底，用移码表示，阶码偏置值为127（阶码全1表示无限大，E的范围是1~254，空出全0表示非规格化数）；尾数部分为23位。

长浮点数数符占1位；阶码占11位，以2为底，用移码表示，阶码偏置值为1023（阶码全1表示无限大，E的范围是1~2046，空出全0表示非规格化数）；尾数部分为52位。

2.3 举例子

i 正指数

十进制单精度浮点数8.25的二进制表示是怎么样的呢？如下

我们由上可知，十进制8.25在计算机中的科学记数法的表示形式是：1.00001 * 2^3。
符号部分为0，指数部分为3 + 127，尾数部分为00001

float num = 8.25;符号位		指数部分		尾数部分float类型 	1bit		 8bit		 23bit8.25    0			 3			 00001符号位 ：1为负数，0为正数指数部分: 3+127		1000 0010尾数部分 00001 低位补0   00001 000000000...000008.25  在计算机中存储的形式是 : 0 1000 0010 00001.......000000

ii 负指数

十进制单精度浮点数0.2的二进制表示是怎么样的呢？

首先将十进制数0.2转换为二进制数：

0.2*2 = 0.4 	...0
0.4*2 = 0.8 	...0
0.8*2 = 1.6 	...1
0.6*2 = 1.2 	...1
0.2*2 = 0.4	 	...0
0.4*2 = 0.8 	...0
0.8*2 = 1.6 	...1
.......(loop)由上，得到十进制数0.2的二进制数为 0.00110011001.... = 1.10011001....*2^(-3)

十进制2.25在计算机中的科学记数法的表示形式是：1.10011001 * 2^(-3)。
符号部分为0，指数部分为-3 + 127，尾数部分为10011001...

float num = 0.2;符号位		指数部分		尾数部分float类型 	1bit		 8bit		 23bit0.2     0			-3			10011001...符号位 ：0指数部分: -3+127		0111 1100尾数部分 10011001...无限循环    100110011001100110011000.2  在计算机中存储的形式是 : 0 0111 1100 10011001100110011001100

这里不知道为什么转换器中尾数的最后一位为1，可能是四舍五入吧。

大家可以通过转换工具验证其他浮点数的转换结果：IEEE754浮点数二进制转换工具

浮点数的大小范围

单精度类型float
阶码的范围是 -126～128， 这个是IEEE-754标准中定义的

我们可以通过明示常量获取。

#include<stdio.h>
#include <float.h>int main()
{printf("float limit min:%e,max:%e\n",FLT_MIN,FLT_MAX);return 0;
}

所以floa单精度类型的浮点数t最小值为 2^-126 = 1.175494E-38，最大值为2¹²⁸ = 3.4028E38