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什么是二分查找❓
想象一下你站在一列整齐排列的书架前想要找到某本书。
传统的做法是从头开始一本本地找但如果你知道书架上的书是按字母顺序排列的聪明的做法是直接走到中间如果目标书在中间就找到了不在的话根据书名比较判断是在左边还是右边的书架继续寻找。这就是二分查找的基本思想。
如何工作❓
有序数组二分查找的前提是数组必须是有序的无论是升序还是降序。分而治之算法每次都将搜索区间缩小一半通过比较中间元素来决定是在左半部分还是右半部分继续查找。递归或迭代二分查找可以递归或迭代实现选择哪种方式取决于个人偏好和具体应用场景。 工作示例
下面的示例说明了二分查找的工作原理。我随便想一个 1100 的数字。你的目标是以最少的次数猜到这个数字。你每次猜测后我会说小了、大了或对了。假设你从 1 开始依次往上猜猜测过程会是这样。 这是 简单查找更准确的说法是傻找。每次猜测都只能排除一个数字在最糟糕的情况下需要100次才能够找到这个数字。
而二分查找直接从有序列表的中间开始一次就将排除一半的数字 随后再从剩下的数字(50-100)的中间数(75)进行判断又将排除掉一半的数字 随后再从数字(50-75)的中间数进行判断以此类推找到最后的数 也就是说100个元素的情况使用二分查找最糟糕的情况也只需要7步就可以查找到相应的数字比简单查找要少多了 上述示例来自 力扣——算法图解 算法步骤详述 初始化指针设置两个指针left初始为0表示数组起始位置right初始为数组最后一个元素的索引。 计算中间索引为了避免整数溢出通常采用mid left (right - left) / 2。 比较并调整区间 若array[mid] target直接返回mid。若array[mid] target说明目标在右半部分更新left mid 1。若array[mid] target则目标在左半部分更新right mid - 1。 重复步骤2和3直到left right此时说明数组中不存在目标值返回-1或其他表示未找到的值。 进阶理解 大O表示法与时间复杂度分析
在深入探讨二分查找之前了解大O表示法这一衡量算法效率的重要工具是不可或缺的。大O表示法用于描述算法在最坏情况下的时间复杂度即随着输入数据量增长算法执行时间增长的速度。它关注的是上界分析帮助我们理解算法在大规模数据处理时的性能表现。 大O表示法简介
符号意义“O”表示“Order of”用来描述算法运行时间的增长率。重点在于增速它并不精确测量算法执行的确切时间而是关注于当输入大小通常用n表示增加时算法执行时间增长的速率。简化原则忽略常数因子和低阶项专注于最高阶项因为当n足够大时这些因素对整体趋势影响不大。
大 O 表示法指出了算法有多快。例如假设列表包含n个元素。简单查找需要检查每个元素因此需要执行n次操作。使用大 O 表示法这个运行时间为 ()。单位秒呢没有——大 O 表示法指的并非以秒为单位的速度。大 O 表示法让你能够比较操作数它指出了算法运行时间的增速。 二分查找的时间复杂度
对于二分查找算法每次迭代都将搜索区间减半这意味着查找次数与输入数据的对数成正比。因此二分查找的时间复杂度为O(log n)。 与简单查找对比
为了更好地理解二分查找的效率我们可以将其与简单顺序/线性查找进行对比 简单查找也称顺序/线性查找在无序或有序列表中从头到尾遍历直到找到目标值或遍历完整个列表。其时间复杂度为()意味着随着数据量的增加查找时间线性增长。 二分查找在有序列表中通过不断缩小搜索范围来查找目标值。时间复杂度为(log )表明当数据量翻倍时所需查找步骤仅增加log()次这是一种远低于线性增长的速度。 时间增速对比 简单查找的时间增速与数据量成正比直观理解就是数据每增加一倍查找时间大致也增加一倍。在大数据集上这种增长速度很快变得不可承受。 二分查找的时间增速则要慢得多因为它基于对数函数。例如即使数据量从1000增加到100万二分查找所需的步骤只增加大约从10增加到20基于2为底的对数这种增长速率在处理大量数据时显得极为高效。 如图所示假如查找100个元素使用简单查找需要100毫秒使用二分查找需要7毫秒可能这个差距可以让人接受。当数据增多时查找1000000000个元素需要11天才可以查找完毕而使用二分查找仅仅只需要30毫秒比使用简单查找查询100个元素还要快的多 简单查找也称为顺序查找的时间复杂度为()这意味着如果数据量增加查找所需的时间也会直接线性地增加:
二分查找的时间复杂度为(log )这意味着随着数据量n的增大二分查找所需时间的增速远低于线性查找,它与数据量的对数成正比而非与数据量本身成正比:
综上所述二分查找由于其对数级的时间复杂度在处理大规模有序数据集时相比线性查找有着显著的性能优势特别是在数据规模庞大的情况下这种优势体现得更为明显。 实践案例JavaScript代码示例
给定一个 n 个元素有序的升序整型数组 nums 和一个目标值 target 写一个函数搜索 nums 中的 target如果目标值存在返回下标否则返回 -1。
/*** param {number[]} nums // 传入一个有序的整型数组nums* param {number} target // 需要查找的目标值target* return {number} // 返回目标值在数组中的索引如果未找到则返回-1*/
const search function (nums, target) {let left 0, right nums.length - 1; // 初始化左右边界left为数组起始索引right为数组结束索引let result -1; // 初始化结果变量result为-1表示目标值未找到// 当左边界小于等于右边界时继续循环while (left right) {let mid left Math.floor((right - left) / 2); // 计算中间索引mid使用Math.floor向下取整保证mid为整数// 如果中间元素等于目标值if (nums[mid] target) {result mid; // 更新result为找到的目标值索引right mid - 1; // 调整右边界继续在左半部分查找若需查找重复值应调整此处逻辑}// 如果中间元素小于目标值else if (nums[mid] target) {left mid 1; // 缩小查找范围至右半部分更新左边界}// 如果中间元素大于目标值else {right mid - 1; // 缩小查找范围至左半部分更新右边界}}return result; // 循环结束返回最终查找结果
};// 示例使用
const sortedArray [-1,0,3,5,9,12]; // 定义一个已排序的数组
console.log(search(sortedArray, 9)); // 在数组中查找数字9并打印查找结果为 4总结
二分查找算法是针对有序数组高效查找特定元素的方法。其核心机制在于每次比较数组中间元素根据比较结果将查找范围减半直至找到目标或确定目标不存在。这一过程展现了(log )的时间复杂度意味着数据量每翻一倍查找操作的次数只需增加一个固定比例基于对数增长而非线性增长。相比之下线性查找的时间复杂度为()数据量增长时效率下降明显。
大O表示法作为衡量算法效率的标准帮助我们抽象理解算法随输入规模变化的性能表现关注上界分析忽略了常数项和低阶项专注于影响最大的部分。在算法设计与分析中它是评估和比较不同方案效率的有力工具。 总之二分查找凭借其对数时间复杂度在处理大规模有序数据时表现出色是算法工具箱中不可或缺的高效利器。而对于任何算法的学习理解大O表示法都是基础且关键的一步它让我们能够科学地预测和优化程序的执行效率。
