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最大似然估计#xff08;Maximum Likelihood Estimation#xff0c;简称MLE#xff09;是一种统计方法#xff0c;用于估计模型的参数#xff0c;使得给定观测数据的似然函数达到最大。在最大似然估计中#xff0c;我们寻找能够最大化观测数据的可能性#xff08;…概念
最大似然估计Maximum Likelihood Estimation简称MLE是一种统计方法用于估计模型的参数使得给定观测数据的似然函数达到最大。在最大似然估计中我们寻找能够最大化观测数据的可能性似然的参数值。
假设我们有一组观测数据 x1, x2, …, xn来自某个概率分布且这个概率分布具有一些未知的参数 θ 需要估计。似然函数 L(θ) 表示在给定参数 θ 下观测数据出现的概率。我们的目标是找到能够最大化似然函数的参数值 θ即
θ^ argmax L(θ)
通常为了方便计算我们计算对数似然函数 LL(θ) log(L(θ))然后寻找能够最大化对数似然函数的参数值。
具体步骤如下
1确定参数化的概率分布以及参数的取值范围。
2编写似然函数或对数似然函数根据数据和参数计算观测数据出现的概率。
3最大化对数似然函数可以使用数值优化方法如梯度下降、牛顿法等来找到最优参数值。
4得到估计的参数值它们是使得观测数据出现概率最大的参数。
代码实现
import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import minimize# 生成一组模拟观测数据
np.random.seed(42)
data np.random.normal(5, 2, 100)# 定义对数似然函数
def log_likelihood(params, data):mu, sigma paramsreturn -np.sum(norm.logpdf(data, mu, sigma))# 初始参数值
initial_params [0, 1]# 最大化对数似然函数
result minimize(lambda params: log_likelihood(params, data), initial_params)# 输出估计的参数值
estimated_mu, estimated_sigma result.x
print(Estimated mu:, estimated_mu)
print(Estimated sigma:, estimated_sigma)
