雷电模拟器手机版下载官方网站,电商平台网站建设策划书,做网站和游戏是如何赚钱,wordpress移动端底部导航文章目录 概念n维向量向量类型实向量和复向量行向量和列向量行列向量的转换特殊向量向量运算 矩阵的向量分块#x1f47a; 解析几何向量和线性代数向量#x1f47a;向量空间 n n n维向量空间 n n n维空间的 n − 1 n-1 n−1维超平面 概念
n维向量
由 n n n个有次序的数 a … 文章目录 概念n维向量向量类型实向量和复向量行向量和列向量行列向量的转换特殊向量向量运算 矩阵的向量分块 解析几何向量和线性代数向量向量空间 n n n维向量空间 n n n维空间的 n − 1 n-1 n−1维超平面 概念
n维向量
由 n n n个有次序的数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an组成的有序数组称为n维向量,简称向量 数 a i a_i ai称为向量的第 i i i个分量
向量类型
实向量和复向量
分量全为实数的向量称为实向量,分量是复数的向量称为复向量(实向量是从属于复向量的) 这里默认讨论的是实向量
行向量和列向量 n n n维向量可以写成一行或一列,分别称为行向量,列向量(或分别称为行矩阵,列矩阵) 一个 n n n维行向量是 1 × n 1\times{n} 1×n的矩阵 ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} a1a2⋮an 一个 n n n维列向量是 n × 1 n\times{1} n×1的矩阵 ( a 1 a 2 ⋯ a n ) \begin{pmatrix}a_1a_2\cdotsa_n\end{pmatrix} (a1a2⋯an) 通常以小写希腊字母,例如: α , β , γ , ⋯ \boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma,\cdots} α,β,γ,⋯表示向量 也可以用小写的粗体的英文字母表示,例如: a , b , ⋯ \boldsymbol{a,b,\cdots} a,b,⋯,或粗正体 a , b , ⋯ \bold{a,b,\cdots} a,b,⋯ 有时为例书写方便,可以用非粗体: α , β , γ , ⋯ {\alpha,\beta,\gamma,\cdots} α,β,γ,⋯ 在按行分块和按列分块的分块矩阵中,还可能出现用大写英文字母表示列分块或行分块,例如 A 1 , A 2 , ⋯ A_1,A_2,\cdots A1,A2,⋯
行列向量的转换 列向量可以看作行向量的转置 习惯上,向量通常默认指列向量,设向量包含 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an元素 列向量和行向量分别表示为 a ( a 1 a 2 ⋮ a n ) ( a 1 a 2 ⋯ a n ) T a T ( a 1 a 2 ⋯ a n ) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \bold{a}\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1a_2\cdotsa_n\end{pmatrix}^T \\ \bold{a}^T\begin{pmatrix}a_1a_2\cdotsa_n\end{pmatrix}(a_1,a_2,\cdots,a_n) a a1a2⋮an (a1a2⋯an)TaT(a1a2⋯an)(a1,a2,⋯,an) 为了便于区分符号(文字)所表示的向量是列向量还是行向量,习惯上表示行向量的符号带上一个 T ^T T上标,例如 a T \bold{a}^T aT表示列向量 a \bold{a} a的转置得到的 简化书写,由于列向量如果严格竖着写比较占用空间,紧凑性不好,我们可以利用转置性质: a ( a T ) T \bold{a}(\bold{a}^T)^T a(aT)T,将列向量用行向量的转置形式书写展开式,这样行列向量也可以用横着写
特殊向量
分量全为0的向量称为零向量零向量第 i i i个分量改为1得到的向量是 a i 1 a_i1 ai1的 n n n维基向量
向量运算 向量作为一种特殊的矩阵,仍然按照矩阵的运算规则运算 k a k ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( k a 1 , k a 2 , ⋯ , k a n ) k\bold{a}k(a_1,a_2,\cdots,a_n)(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n) kak(a1,a2,⋯,an)(ka1,ka2,⋯,kan) − a − ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( − a 1 , − a 2 , ⋯ , − a n ) -\bold{a}-(a_1,a_2,\cdots,a_n)(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n) −a−(a1,a2,⋯,an)(−a1,−a2,⋯,−an)为向量 − a -\bold{a} −a的负向量
矩阵的向量分块 A ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn} \\ \end{pmatrix} A a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn 记 α j ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) , j 1 , 2 , ⋯ , n A ( α 1 α 2 ⋯ α n ) \\记\alpha_j \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{pmatrix},j1,2,\cdots,n \\A\begin{pmatrix} \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} 记αj a1ja2j⋮amj ,j1,2,⋯,nA(α1α2⋯αn) 记 β i T ( a i 1 , a i 2 , ⋯ , a i n ) , i 1 , 2 , ⋯ , m A ( β 1 T β 2 T ⋮ β m T ) 记\beta_i^T(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i1,2,\cdots,m \\ A \begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} 记βiT(ai1,ai2,⋯,ain),i1,2,⋯,mA β1Tβ2T⋮βmT A ( α 1 α 2 ⋯ α n ) ( β 1 T β 2 T ⋮ β m T ) A\begin{pmatrix} \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} A(α1α2⋯αn) β1Tβ2T⋮βmT
解析几何向量和线性代数向量
在解析几何中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量 把可随意平移的有向线段作为向量的几何形象引进坐标系后,这种向量就有了坐标表示: n n n个有次序的实数数组 ( a 1 , ⋯ , a n ) (a_1,\cdots,a_n) (a1,⋯,an) n 1 n1 n1对应的是标量 n 2 n2 n2对应于二维平面向量 n 3 n3 n3对应于三维空间向量 当 n ⩽ 3 n\leqslant{3} n⩽3时, n n n维向量可以把有向线段作为几何形象当 n 3 n3 n3时, n n n维向量不再有几何形象,但是沿用一些几何术语
向量空间
几何中,空间通常是作为点的集合,构成空间的元素是点,这样的空间叫做点空间 我们把 3 3 3维向量的全体所组成的集合: R 3 \mathbb{R}^3 R3{ r ( x , y , z ) T ∣ x , y , z ∈ R \bold{r}(x,y,z)^T|x,y,z\in\mathbb{R} r(x,y,z)T∣x,y,z∈R}称为3维向量空间在点空间取定坐标系后,三维空间中的点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)与 3 3 3维向量 r ( x , y , z ) T \bold{r}(x,y,z)^T r(x,y,z)T之间有一 一对应关系 因此向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间 在讨论向量的运算时,我们把向量看作有向线段在讨论向量集时,把向量 r \bold{r} r看作时 r \bold{r} r为径向的点 P P P,从而把点 P P P的轨迹作为向量集作为向量集的图形 例如 Π { P ( x , y , z ) ∣ a x b y c z d 0 } \Pi\{P(x,y,z)|axbyczd0\} Π{P(x,y,z)∣axbyczd0},结合空间解析几何的知识,是一个平面方程的一般式,因此 Π \Pi Π是一个平面 ( a 2 b 2 c 2 0 ) (a^2b^2c^2{0}) (a2b2c20)或 ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) (a,b,c)\neq{(0,0,0)} (a,b,c)(0,0,0)由此,向量集 S { r ( x , y , z ) T ∣ a x b y c z d 0 } S\{\bold{r}(x,y,z)^T|axbyczd0\} S{r(x,y,z)T∣axbyczd0}也叫做向量空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3中的平面(3维空间中的2维平面),并把 Π \Pi Π作为向量集S的图形 将 x , y , z x,y,z x,y,z替换为 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3; x , y , z x,y,z x,y,z替换为 a 1 , a 2 , a 3 a_1,a_2,a_3 a1,a2,a3,则平面方程作 ( ∑ i 1 3 a i x i ) b 0 (\sum_{i1}^{3}a_ix_i)b0 (∑i13aixi)b0 n n n维向量空间
设集合 D { 1 , 2 , ⋯ , n } D\{1,2,\cdots,n\} D{1,2,⋯,n} n n n维向量的全体构成的集合 R 3 \mathbb{R}^3 R3{ x ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ ∀ i ∈ D , x i ∈ R \bold{x}(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T|\forall{i}\in{D},x_i\in\mathbb{R} x(x1,x2,⋯,xn)T∣∀i∈D,xi∈R}叫做 n n n维向量空间 n n n维空间的 n − 1 n-1 n−1维超平面 n n n维向量的集合{ x ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ ( ∑ i 1 n a i x i ) b 0 \bold{x}(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T|(\sum_{i1}^{n}a_ix_i)b0 x(x1,x2,⋯,xn)T∣(∑i1naixi)b0}叫做 n n n维向量空间 R n \mathbb{R}^n Rn中的 n − 1 n-1 n−1维超平面
