\(1.\) 已知 \(a>0\)，\(b>0\)，则 \(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\) 的最小值为（\(\color{red}{2\sqrt2}\)）。
\(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\ge 2\dfrac1b+b\ge2\sqrt 2\)，当 \(a=b=\sqrt 2\) 时取等。
\(2.\) 设正实数 \(x,y,z\) 满足 \(x^2-3xy+4y^2-z=0\)。则当 \(\dfrac{xy}{z}\) 取得最大值时，\(\dfrac2x+\dfrac1y-\dfrac2z\) 的最大值为（\(\color{red}{1}\)）。
\(x^2-3xy+4y^2=z\)，\({(x-2y)}^2+xy=z\)，\(\dfrac{xy}{z}=1-\dfrac{{(x-2y)}^2}{z}\)，所以当且仅当 \(x=2y\) 时，\(\dfrac{xy}{z}\) 取得最大值，则 \(4y^2-6y^2+4y^2=z\)，\(z=2y^2\)。
\(\dfrac2x+\dfrac1y-\dfrac2z=\dfrac{2}{2y}+\dfrac1y-\dfrac{2}{2y^2}=\dfrac2y-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{2y-1}{y^2}\)。
令 \(t=2y-1\)，\(t > -1\)，则 \(y=\dfrac{t+1}{2}\)，由于令 \(y\) 取任意一个 \(y_0\) 使得 \(2y_0-1>0\)，都有 \(\dfrac{2y_0-1}{{y_0}^2}>0\)，而如果 \(y\) 取 \(y_0\) 使得 \(2y_0-1\le 0\)，都有 \(\dfrac{2y_0-1}{{y_0}^2}\le 0\)，所以使得原式取最大值的 \(y\) 必然满足 \(2y-1>0\)，即 \(t>0\)。
\(\dfrac{2y-1}{y^2}=\dfrac{t}{{\left(\dfrac{t+1}{2}\right)}^2}=\dfrac{4t}{t^2+2t+1}=\dfrac{4}{t+\dfrac1t+2}\le\dfrac{4}{2+2}=1\)，当且仅当 \(t=1\) 时取等。
\(3.\) 记 \(\max\{a,b\}\) 为 \(a,b\) 两数的最大值，当正整数 \(x,y\)（\(x>y\)）变化时，\(t=\max\left\{x^2,\dfrac{4}{y(x-y)}\right\}\) 的最小值为（\(\color{red}{4}\)）。
\(t\ge x^2\)，\(t\ge\dfrac{4}{y(x-y)}\)，所以 \(t^2\ge\dfrac{4x^2}{y(x-y)}\)。
令 \(k=\dfrac{x}{y}\)，\(k>1\)，则 \(\dfrac{2y-1}{y^2}=\dfrac{4k^2}{k-1}=4k+4+\dfrac{4}{k-1}=8+4(k-1)+\dfrac{4}{k-1}\ge 16\)，当且仅当 \(k=2,y=1,x=2\) 时取等。
\(t^2\ge 16\)，\(t\ge 4\)。
\(4.\) 已知实数 \(x\ge 2y>0,z>0\)，则 \(\dfrac{x+4y+3z}{x+2y}+\dfrac{x}{2y+3z}\) 的最小值为（\(\color{red}{1+\sqrt2}\)）。
\(\dfrac{x+4y+3z}{x+2y}+\dfrac{x}{2y+3z}=1+\dfrac{2y+3z}{x+2y}+\dfrac{x}{2y+3z}\ge 1+2\sqrt{\dfrac{x}{x+2y}}\)
令 \(k=\dfrac{x}{y}\)，\(k\ge 2\)，\(1+2\sqrt{\dfrac{x}{x+2y}}=1+2\sqrt{\dfrac{k}{k+2}}=1+2\sqrt{1-\dfrac{2}{k+2}}\ge 1+2\sqrt{1-\dfrac{2}{2+2}}=1+\sqrt2\)。
当且仅当 \(x=2y,y=\dfrac{3+3\sqrt 2}{2}z\) 时取等。
\(5.\) 设 \(a>b>c>0\)，则 \(2a^2+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2\) 的最小值是（\(\color{red}{4}\)）。
\(2a^2+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2=2a^2+\dfrac{1}{b(a-b)}-10ac+25c^2\ge2a^2+\dfrac{4}{a^2}-10ac+25c^2={(a-5c)}^2+a^2+\dfrac{4}{a^2}\ge 0+2\times 2=4\)。
当且仅当 \(a=\sqrt 2,c=\dfrac{\sqrt 2}{5},b=\dfrac{\sqrt 2}{2}\) 时取等。