当时在想二项式反演咋正向推导。
若
\[f_n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i
\]
则
\[g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f_i
\]
证明不难，把 \(f_i\) 展开即可。
但，我不明白推导思路。
然后自己玩：
\[f_n = \sum_{i=0}^n {\frac {n!} {i!(n-i)!}} g_i
\]
然后做一点基础的参变分离。
\[\frac{f_n}{n!} = \sum_{i=0}^n \frac {1}{(n-i)!} \cdot \frac {g_i}{i!}
\]
我了钢蛋雷塞球爆猪刚烈雷爆雷塞刚球啊。
这不是
\[\^F(x) = e^x \cdot \^G(x)
\]
吗？
所以：
\[\^G(x) = e^{-x} \cdot \^F(x)
\]
展开
\[g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}{n \choose i} f_i
\]
嗯，行云流水的推导过程。
然后我还总结归纳了一下：容斥反演就是找反函数。
理由如下。
若
\[F(x)=H(G(x))
\]
容斥就是在找
\[H'(H(x))=x
\]
这样一来
\[G(x)=H'(F(x))
\]
像上面那个例子里
我们知道
\[H(y)=e^xy
\]
然后找到
\[H'(y)=e^{-x}y
\]