颓废记录3

Lydic 的电脑实在是太卡了，所以她不得不新建文章来颓废了。

铁链喷泉

有的同学可能不熟悉这个物理现象，所以 Lydic 先放了一个视频：

珠链喷泉

Lydic 对这个物理现象十分感兴趣，所以她想来用已学知识探究一下。

但是 Lydic 并不想直接去研究这个物理现象，因为它对高考没用……么？

来看一道著名例题：

如图，粗细均匀，长度为l的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上，受到微小扰动后，铁链由静止开始运动，当铁链脱离滑轮的瞬间，其速度大小为：

A:\(\sqrt{gl}\)
B:\(\frac{1}{2}\sqrt{gl}\)
C:\(\frac{1}{2}\sqrt{2gl}\)(其实就是\(\sqrt{\frac{gl}{2}}\))
d:\(\sqrt{2gl}\)

这看似是一道十分普通的重心运动+能量守恒问题，相信聪明的HDS们可以一眼秒掉，这里给出某帮上的解答：

但……这道题真的会这么简单么？

我们意识到，在做题的过程中，我们将“当铁链脱离滑轮的瞬间”默认成了“铁链完全脱离时”。但是如果要考虑铁链喷泉这种现象的话，我们就不能不忽略这种情况：

那么猜想有了，如何定量分析它呢？

分析

在刚才的图中，我们已经假设当铁链右端比左端靠下 \(2x\) 时，铁链脱离滑轮。即将左端一段长度为 \(x\) 的铁链接到右端。

那么首先根据能量守恒，结合该情况等价于铁链有一段长 \(x\) 的部分下降了 \(x\) 可得方程：

\[mg\frac{x}{l}\cdot x=\frac{1}{2}mv^2 \]

解得：

\[v=\sqrt{\frac{2g}{l}}x \]

于是我们得到了此时铁链的速度。

接着考虑此时铁链应满足什么条件。对铁链进行受力分析，它应该只受到重力 \(mg\)，因为此时它已经脱离滑轮，因而不受到支持力。

因此我们现在的目的就是找到铁链所受的合外力 \(F\) 的表达式，令它等于 \(mg\) 即可。

众所周知求 \(F\) 一定要用到牛顿第二定律，也就是 \(F=\frac{d (mv)}{d t}\)。在这道题中 \(m\) 也在变化，所以需要一并写入。

先求 \(mv\) 的表达式。由于铁链两端速度方向不同，所以这里需要将 \(v\) 看成矢量而不是标量来处理。

按照上图情景，将铁链顶端到第一条虚线之间部分两端的动量抵消，相当于整条铁链的等效动量为：

\[\frac{2x}{l}m\cdot v=\frac{2x}{l}m\cdot \sqrt{\frac{2g}{l}}x=\frac{2x}{l}\sqrt{\frac{2g}{l}}x^2 \]

将上式对时间求导，有：

\[\frac{d}{dt}(\frac{2x}{l}\sqrt{\frac{2g}{l}}x^2) \]

\[=\frac{2x}{l}\sqrt{\frac{2g}{l}}\frac{d}{dt}x^2 \]

\[=\frac{2x}{l}\sqrt{\frac{2g}{l}}2x\frac{dx}{dt} \]

\[=\frac{2x}{l}\sqrt{\frac{2g}{l}}v \]

\[=\frac{2x}{l}\sqrt{\frac{2g}{l}}\cdot \sqrt{\frac{2g}{l}}x \]

\[=\frac{8mg}{l^2}x^2 \]

\[=F \]

\[=mg \]

最终解得:

\[x=\frac{\sqrt{2}}{4}l \]

此时：

\[v=\sqrt{\frac{2g}{l}}x=\frac{1}{2}\sqrt{gl} \]

于是答案选B。

是不是觉得十分颠覆三观

所以当看过这篇文章的遇到这道题时，你就可以当着全班的面装b了哈哈哈~