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首先快速回忆一下正交矩阵的定义#xff1a; A为n阶实矩阵#xff0c;且满足A‘AE或是说AA’E#xff0c;那么A为正交矩阵。 #xff08;啊#xff0c;多么简洁的定义#xff09; 其次快速想到它的性质#xff1a; ① 实特征值必然 或 其他复数…Memory
首先快速回忆一下正交矩阵的定义 A为n阶实矩阵且满足A‘AE或是说AA’E那么A为正交矩阵。 啊多么简洁的定义 其次快速想到它的性质 ① 实特征值必然 或 其他复数 ② 正交矩阵的行向量或列向量相互直接是正交的 ③ 正交矩阵的模为1这个很显然给上面AA’或A’A等式两边去行列式开平方加绝对值必然等于1 ④ 正交阵的乘积仍然为正交阵这个也很容易。马上来一个正交阵B有B’BE那么A’AE给包上一层B’A’ABB’EBB’BEOK轻而易举有正交阵AB证毕。 ⑤ 同时行向量或列向量的模也必然为1这里还能推出各个元素必定小于等于1。
来个例子吧这样更通俗易懂 很明显了吧直接明晰结论5。 如何快速给出解释——正交矩阵子矩阵的特征值的模必然不大于1
快速回忆完了接下来就来到我们的主题 开证 假设有一个n2阶的正交矩阵A有随便一个子方阵CC必定存在于A中 记录C为s×s矩阵其中C有一个模大于1的特征值u复数不妨记起特征向量为X. 先将A做初等变换使这个子矩阵C在对角线上。 那么这一系列初等变换的矩阵记为DD必然为正交阵。为啥捏初等变换就三种因为移到 对角线只用平移这一种不涉及到乘数从单位阵再对角回去的角度乘以转置的D必然为单 位阵E。 那么由上面结论③AD为正交阵 不妨记现在 同时AD的前n行s列我们单独拿出来。 由结论②有C, V’C, VE暂记C, V为矩阵 为H每个元素都去共轭之后的矩阵跟共轭矩阵不是一回事哈。显然对于实矩阵AD而言H。这里引的目的是 的引出。 这大串变换后我们只需要首和尾 而VX是(n-s)×1实阵相乘则每个元素相当于原元素平方必然≥0同理 故特征值u的模不可能大于1。
