P1072 [NOIP 2009 提高组] Hankson 的趣味题
题目描述
Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 \(c_1\) 和 \(c_2\) 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 \(a_0,a_1,b_0,b_1\)，设某未知正整数 \(x\) 满足：
-
\(x\) 和 \(a_0\) 的最大公约数是 \(a_1\)；
-
\(x\) 和 \(b_0\) 的最小公倍数是 \(b_1\)。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 \(x\)。但稍加思索之后，他发现这样的 \(x\) 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 \(x\) 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入格式
第一行为一个正整数 \(n\)，表示有 \(n\) 组输入数据。接下来的$ n$ 行每行一组输入数据，为四个正整数 \(a_0,a_1,b_0,b_1\)，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 \(a_0\) 能被 \(a_1\) 整除，\(b_1\) 能被 \(b_0\) 整除。
输出格式
共 \(n\) 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 \(x\)，请输出 \(0\)，若存在这样的 \(x\)，请输出满足条件的 \(x\) 的个数；
输入输出样例 #1
输入 #1
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出 #1
6
2
说明/提示
【样例解释】
第一组输入数据，\(x\) 可以是 \(9,18,36,72,144,288\)，共有 \(6\) 个。
第二组输入数据，\(x\) 可以是 \(48,1776\)，共有 \(2\) 个。
【数据范围】
- 对于 \(50\%\) 的数据，保证有 \(1\leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 10000\) 且 \(n \leq 100\)。
- 对于 \(100\%\) 的数据，保证有 \(1 \leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 2 \times 10^9\) 且 \(n≤2000\)。
NOIP 2009 提高组 第二题
这题思路跟《P1029 [NOIP 2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题》很相似（如果没做过这道题或者没有印象建议先去做一下）， \(i\) 枚举 \(b_1\) 的因数，对每个 \(b_1\) 的因数判断 \((i,a_0)=a_1 \land [i,b_0]=b_1\) ，符合条件答案就 \(+1\) ，还要判断 \(i \times i \neq b_1 \land (b_1/i,a_0)=a_1 \land [b_1/i,b_0]=b_1\) ，符合条件答案就 \(+1\) ，为什么第二个要特判 \(i \times i \neq b_1\) 呢？因为如果不特判的话，答案就会多 \(1\) 。代码如下：
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int n,a0,a1,b0,b1,s;
int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;
}
int lcm(int x,int y){return x/gcd(x,y)*y;//最好不要写成x*y/gcd(x,y)，防止溢出
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n;while(n--){cin>>a0>>a1>>b0>>b1;s=0;for(int i=1;i*i<=b1;i++){if(b1%i==0){if(gcd(i,a0)==a1&&lcm(i,b0)==b1){s++;}if(i*i!=b1&&gcd(b1/i,a0)==a1&&lcm(b1/i,b0)==b1){s++;}}}cout<<s<<'\n';}return 0;
}
这题的思维难度比较简单，我个人认为顶多算个黄题，但是洛谷却评了绿题……（大雾