顾名思义，该问题就是关于如何把多个小球放入多个盒子的问题。该问题共有 8 种变种，分别有 3 个不同点：
- 球之间有没有区别？
- 盒子之间有没有区别？
- 每个盒子是否至少要放 1 个球？
对此，我做了个表格（T 为肯定，F 为否定）：
| 情况 | 球之间有没有区别 | 盒子之间有没有区别 | 盒子是否至少要放 1 个球 |
|---|---|---|---|
| #1 | T | T | T |
| #2 | T | T | F |
| #3 | T | F | F |
| #4 | T | F | T |
| #5 | F | F | T |
| #6 | F | T | F |
| #7 | F | T | T |
| #8 | F | F | F |
后文的叙述顺序会按难度升序排序。
约定
我们约定：
- 共有 \(n\) 个球，\(m\) 个盒子，并假设 \(n \ge m\) 。
- \(\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)， 表示在 \(n\) 个物品中选择 \(m\) 个的可能数（不同顺序算一个可能）。
情况 #2
很明显对于每个球，我们都要选择一个盒子。于是解即为 \(m^n\)。
情况 #5
（插板法）我们可以在 \(n\) 个球之间插入 \((m-1)\) 个板子，来把这些球分成 \(m\) 份。因为不能有盒子不放，所以空隙数为 \((n-1)\) 。答案即为 \(\dbinom{n-1}{m-1}\)。
情况 #8
我们可以把这种情况转化成情况 #5，只需再加入 \(m\) 个球即可。于是答案为 \(\dbinom{n+m-1}{m-1}\)。
······