站长工具在线免费,余姚做网站,python 做网站速度,网站字号多大注#xff1a;本文为“中国古代数学符号”相关合辑。
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原创 朱一文 科普中国 2024 年 07 月 31 日 15:30 北…注本文为“中国古代数学符号”相关合辑。
图片清晰度受引文原图所限。 略作重排未整理去重。 如有内容异常请看原文。 这个中国古代的数学瑰宝到底厉害在哪
原创 朱一文 科普中国 2024 年 07 月 31 日 15:30 北京
中国古代数学源远流长《九章算术》作为汉代成书的重要数学著作历来被称作“算经之首”。已故中国科学院院士、著名数学家吴文俊先生1919-2017曾指出“《九章算术》及其刘徽注在数学发展史上具有崇高的地位足以与古希腊欧几里得《几何原本》东西辉映各具特色。”那么《九章算术》究竟有哪些数学成就又为何在数学史上有如此高的地位呢
算筹与准十进制位值制记数法
《九章算术》总结了先秦以来的数学成就其中最重要的数学成就是算筹的准十进制位值制记数法。所谓十进制decimal system是从 1 开始记数到 10 换一个记数方式而位值制place - value system是指同一个数字放在不同位置具有不同的数量含义。古埃及数学采用十进制记数法但并非位值制而是垒数制古巴比伦数学采用位值制记数法但使用的是 60 进制。现代的印度 - 阿拉伯数字是十进制位值制而从文献记载来看其晚于中国算筹记数。因此新加坡学者蓝丽蓉Lam Lay Yong甚至提出印度 - 阿拉伯数字可能起源于中国算筹的说法。2016 年中国科学院自然科学史研究所编写的《中国古代重要科技发明与创造》一书明确将这一成就列入其中。
算筹在中国使用了约 2000 年直到 16 世纪被算盘取代之前一直是中国人长期使用的数学工具也是日本、朝鲜、越南、琉球等汉字文化圈国家长期使用的数学工具。其材质通常为竹子也有象牙、骨、铅、银等汉代的算筹长约 12 厘米。近代以来多地有算筹出土例如 1983 年 11 月在陕西省旬阳地区汉墓出土了 28 根象牙算筹。日本也藏有算筹。在古语中“筭”与“算”不同前者指摆弄竹子即算筹后者指装算筹的器物引申为计算。因此古书中普遍写作“筭术”即运用算筹的算法例如《九章筭术》。
陕西旬阳出土算筹日本东大寺所藏算筹
算筹记数分为纵横两式个、百、万等位上用纵式十、千、百万等位上用横式。例如数字 12345 摆放为 。由于十位上的 1 和个位上的 1 摆放不同因此这种记数法被称为“准位值制”。这一特点体现了算筹记数的优势遇 0 作空位处理纵横不同的摆放方式可以最大限度凸显空位例如 表示 203而不可能是 23)。《九章算术》卷八方程涉及正负术通过算筹的颜色和摆放方式也可以区分正负。 以算法为中心
《九章算术》全书分为九卷包含 246 个数学问题。学界曾存在误解认为该书是一本应用问题集但实际上246 个问题对应的算法即“术”仅有约 100 个多个问题往往对应一个算法。因此数学史家郭书春指出该书采用的是“术文统率例题”的形式。另有误解认为该书是一本算法操作手册运筹者无须理解其中的数学原理。然而数学史家李继闵指出算法实施过程中蕴含着算理即“寓理于算”不懂数学原理实际无法进行计算。
吴文俊先生指出中国古代的算法具有构造性和机械化的特点。构造性与现代存在性数学相对应指算法往往给出求解路径机械化则体现在筹算过程。法国学者林力娜Karine Chemla通过大量文献分析指出《九章算术》及其刘徽注的数学问题、图和棊等几何工具以及算筹的实施都是展现算法的工具从而有力地证明了以《九章算术》为代表的中国古代数学是以算法为中心的数学。从世界数学史角度看除了古希腊数学以外的其他数学文明都具有算法倾向丹麦数学史家休儒Jens Høyrup进一步认为中国数学是所有文明中最重视算法的。学界以往多认为《九章算术》具有实用性和社会性的特点其实这一特点其他数学文明也具备唯有对算法的高度重视是中国古代数学的独特之处。就此而言《九章算术》可视作一本理论数学著作。
《九章算术》各卷内容如下 卷一方田给出筹算分数的计算法则和各种田面积的计算公式其中圆面积公式为“半周乘半径得积步”即 π r 2 \pi r^2 πr2这一公式巧妙地回避了圆周率是完全准确的。 卷二粟米给出各种谷物的换算其中提出“今有术”即已知三个数求成比率的第四个数这一算法在西方被称作“三率法”。 卷三衰分讲述各种物品的比例分配问题。 卷四少广涉及土地的丈量和划分给出用算筹开平方和开立方的算法这一方法在宋代发展成普遍求任意一元高次方程数值解的算法与现代数学中的牛顿法类似。 卷五商功处理工程问题涉及各种几何体的体积计算问题提出三种基本几何体立方、堑堵和阳马作为求解任意几何体体积的基础。立方即正立方体堑堵是底面为等边直角三角形的三棱锥两堑堵合成一立方阳马是底面为正方形一棱与底垂直的四棱锥三阳马合成一立方。 卷六均输关于税收的比例分配问题。 卷七盈不足通过两次假设求解问题的算法该算法在西方被称作“双假设法”。由于该法可以把任何问题理解成线性问题进而求出解答故也称为万能算法。 卷八方程求解多元一次线性方程组的完整算法其中给出涉及该问题时必须用到的正负术法则。例如第一问 今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉实三十四斗上禾一秉中禾二秉下禾三秉实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何答曰上禾一秉九斗四分斗之一中禾一秉四斗四分斗之一下禾一秉二斗四分斗之三。 按术列出如下方程其求解过程类似现代的矩阵方程解法。清末现代数学传入中国后李善兰借用古语“方程”翻译“equation”实际改变了方程的原意。 卷九勾股讲述平面图形的面积计算问题给出勾股定理及其各种变化形式。
给出算法正确性的论证
刘徽注《九章算术》
《九章算术》文本中只给出算法而没有其正确性的证明。这一特点曾被用作中国数学不如以《几何原本》为代表的古希腊数学的论据但现代数学史研究已证明这一观点站不住脚。首先除了古希腊数学以外的数学文明往往只给出算法而没有证明。吴文俊先生认为数学史是算法倾向与演绎倾向两大主题此消彼长形成的。其次文本中是否有证明取决于文本的性质和语境文本中没有证明并不代表数学实践中也没有证明。最后林力娜等学者认为不应以古希腊的数学证明作为证明的唯一形态其他文明中也有不同形态的证明。刘徽注可以验证这后两点。
魏景元四年263 年刘徽注解了《九章算术》对大部分术文都给出其算法正确性的论证。例如在卷一对圆面积公式的证明、卷四对球体积公式的注解、卷五对阳马体积的证明中刘徽用到极限逼近的推理方法展现了极高的逻辑推理能力。在卷四求解球体积公式的过程中刘徽发明出牟合方盖但无法求出其体积故“以俟能言者”。这一问题最终被祖冲之父子解决。刘徽对几何问题的证明需用到图平面问题和棊立体问题其推理原理被吴文俊总结为“出入相补原理”。
《九章算术》的影响与历史地位
《九章算术》在唐宋时期均为国子监算学馆的教科书。刘徽之后唐李淳风、北宋贾宪、刘益、蒋周、南宋秦九韶、杨辉、金李冶、元朱世杰等均沿着《九章算术》的路线发展中国古代数学并使其在宋元时代达到一个高峰。明清时期中国数学发展的主流虽发生改变但《九章算术》的整体框架并未改变。日本数学则在中国宋元数学的基础上发展出和算在 19 世纪时可以处理面积求和等微积分初等问题。
自李俨1892-1963、钱宝琮1892-1974先生开创中国数学史研究以来《九章算术》及其后世注解就作为中国数学成就的标志性著作。他们主要关注其中与现代数学相通之处但实际上《九章算术》中那些独特算法同样是中国数学的伟大成就。两者共同说明了中国数学历史道路的独特性和其历史经验的有效性。
吴文俊先生将中国古代数学的算法理解成计算机的软件将算筹、算盘等工具理解成计算机的硬件从而创造性地提出数学机械化的构想这是中国古代数学“古为今用”的典范案例。
策划制作
本片为科普中国・创作培育计划扶持作品 出品丨中国科协科普部 监制丨中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司 作者丨朱一文 科学技术史博士中山大学哲学系教授、博士生导师逻辑与认知研究所专职研究员 策划丨林林 责编丨林林 钟艳平 审校丨徐来 从刻痕与结绳到现代数学符号人类如何创造语言的另一种奇迹
原创 遇见数学 科学演绎法 2024 年 11 月 27 日 20:05 河南
数学是一种独特的语言它以简洁而精准的符号揭示自然规律并帮助人类探索不可见或抽象的领域——从微观粒子到宏观宇宙从无穷到高维空间甚至复杂的逻辑结构。数学符号的诞生与发展是人类智慧的结晶也是科学和技术进步的基石。今天我们走近数学符号的世界了解它是如何诞生、如何运作以及为什么它如此重要。
数学符号的重要性
数学符号是用来表示数学对象、运算、关系和逻辑规律的符号体系包括数字、变量与常量、运算符、关系符及各个不同数学分支中的特殊符号。数学符号的力量在于其简洁性和通用性。它超越了语言的障碍成为科学家、工程师和数学家共同的交流语言。
爱因斯坦的著名公式 E m c 2 E mc^2 Emc2 是一个典型例子。当爱因斯坦提出质量和能量之间的关系时他借助这一公式将一个复杂的物理概念浓缩成简短的表达式。没有这些符号就需要用一整段话甚至几页文字来描述这个等式的含义。
数学符号不仅简洁还具有通用性。无论是中国人、法国人还是印度人公式 E m c 2 E mc^2 Emc2 或 a 2 b 2 c 2 a^2 b^2 c^2 a2b2c2 的意义都是一致的。数学符号超越了语言和文化的障碍成为全球通用的交流思想的工具。
不仅如此数学符号还具有抽象性能够描述自然语言难以企及的深刻概念和复杂逻辑。例如逻辑表达式 ∀ x ∈ R , ∃ y ∈ R , y x \forall \; x \in \mathbb{R}, \exists\; y \in \mathbb{R}, y x ∀x∈R,∃y∈R,yx 用符号精确地表达了“对于任意一个实数 x x x总存在一个比它大的实数 y y y”的数学思想。这种抽象能力使得数学不仅可以研究具体的对象还能深入研究逻辑关系、集合结构甚至高维空间的性质。
数学符号的价值还在于其普适性。它不仅是科学研究的工具更是思想的载体。正是通过这些符号数学家得以将复杂的概念形式化进而探索更远的未知领域。
数学符号的起源与演化
数学符号的演化史是人类智慧发展的缩影。从最早的计数工具到今天复杂的公式数学符号经历了漫长而有趣的发展过程。数学符号的历史可以追溯到人类文明之初随着人类对数学的理解不断深化符号才逐渐被抽象和系统化。
早期的计数和符号萌芽
数学符号的历史可以追溯到数万年前。当时所谓的数学活动主要是计数最古老的数学工具是简单的刻痕、结绳或小石头这些原始的符号虽然简单但标志着人类开始尝试用外部工具记录和表达数学思维。 例如
伊尚戈骨约 20,000 年前一块来自非洲的骨头上面刻有规律的刻痕被认为可能是早期的计数工具。绳结记事法安第斯山脉的印加文明使用“结绳”记录数字和信息这种方法被称为“基普”。
随着文明的进步数字符号逐渐出现。巴比伦人发明了用楔形文字记录数字的方式发明了基于 60 进制的计数系统。而古埃及人则用象形符号表示数量。这些早期符号尽管原始却标志着数学思维的萌芽。
零的出现数学符号史上的里程碑
数位的概念和零的发明是数学符号发展史上的重要一步。因为在此之前零的概念并不存在。
巴比伦人约公元前 2000 年最早使用零作为占位符。例如数字 306 中的“0”表示“没有十位数”。印度数学家约公元 5 世纪率先将零视为一个独立的数字并用点或圆圈表示。这一创新被阿拉伯数学家传播到全世界极大推动了数学的发展。 零的出现不仅解决了数字记录的难题还为现代数学、科学和工程领域奠定了基础。没有零代数、微积分乃至计算机科学的发展都将无从谈起。
16 世纪数学符号化的转折点
数学符号的系统化发展始于文艺复兴时期。在 16 世纪之前数学的表达方式与今天我们熟悉的符号化数学有着天壤之别。几乎所有的数学思想、计算步骤和证明过程都通过自然语言叙述而不是符号化的表达。例如古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中使用长篇叙述来陈述几何定理而非符号化的表达方式。 正是在这种背景下部分数学家尝试用更简洁的形式表达数学思想。其中丢番图Diophantus 是重要的先驱之一。他的著作《算术》Arithmetica中开创性地引入了一些符号化的方法以简化数学表达
用符号表示未知数。例如丢番图用一种特殊的符号类似希腊字母来表示未知数而不是用完整的文字描述。使用缩写表示某些数学运算。例如他用一种简写的形式表达平方和平方根运算而不是通过详细的句子。
这标志着数学符号化的早期尝试。然而由于丢番图的符号体系并未被广泛传播因此直到文艺复兴时期这种符号化的思想才被再次发展和推广。
现代数学符号的诞生 数学符号的系统化始于文艺复兴时期
弗朗索瓦・韦达François Viète16 世纪首次使用字母表示未知数开创了代数学符号化的先河。笛卡尔René Descartes17 世纪引入了我们今天熟悉的符号比如用 x , y , z x, y, z x,y,z 表示未知数用 a , b , c a, b, c a,b,c 表示已知量。他还提出了复数单位 i i i 的概念。
18 至 19 世纪的标准化
莱布尼茨与牛顿分别提出了微积分的符号体系。莱布尼茨的积分符号 ∫ \int ∫ 和微分符号 d d d 至今仍在使用。随后欧拉Leonhard Euler 在 18 世纪对数学符号进行了进一步的完善。他发明或推广了许多我们今天熟知的符号例如函数表示法 f ( x ) f(x) f(x)、自然对数的底数 e e e 和圆周率 π \pi π。
随着数学的全球化传播符号逐渐被标准化。统一的符号体系不仅缩短了数学家之间的交流时间还推动了数学思想的迅速传播。
尽管数学符号的基础体系在 18 世纪已经确立但发展并未停止。随着探索数学的不断深入许多新符号还在引入以应对复杂的数学需求。
现代符号的扩展
随着数学分支的扩展如拓扑学、统计学和量子力学新的符号也不断被创造出来。例如拓扑学中符号 ∂ \partial ∂ 描述了边界运算量子力学中使用了狄拉克符号如 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ψ⟩ 和 ⟨ ψ ∣ \langle \psi | ⟨ψ∣来表示量子态。
结语数学符号的魅力
数学符号是人类智慧的结晶。它不仅是科学交流的工具也是我们探索世界奥秘的钥匙是人类文明进步的缩影。当你下次看到复杂的数学公式时不妨换个视角。试着去理解这些符号背后的故事和逻辑它们不是冷冰冰的字符更是通往知识殿堂更深处的桥梁。 位置示数法一种具有代数符号功能并具优势的中国传统数学方法
邹大海、夏庆卓 返朴 2025 年 02 月 16 日 08:30 北京 代数符号的引入与使用对数学的发展具有重大的促进作用。中国古代的筹算采用了一种位置示数法具有代数符号的功能。它不仅借助位置来表示数而且用位置来表现各种未知数及其不同次数的幂还利用相对位置的调整来实现代数运算的功能且在某些方面更具优势充分展现了中国传统数学的特色。将中国传统数学的位置示数法与现代数学的符号代数法结合有可能为数学的发展提供新的思路。 撰文 | 邹大海中国科学院自然科学史研究所、夏庆卓中国科学院自然科学史研究所、中国科学院大学
用代数符号来表示未知量或可变量对于数学的发展具有重要的意义。[注释 1] 成套的数学符号是 16 世纪以来在欧洲首先发展起来的 [1]。在西欧数学传入以前中国传统数学很少使用代数符号但代数学却是很发达的。究其原因中国古代的哲人充分发掘位置在数学中的重要作用 [注释 2]开发出了一套用位置标示数学含义的方法可以实现后来近现代数学中代数符号的功能 [注释 3]这种方法我们称为位置示数法。之所以不称 “位置代数法”是因为古代并不是让一个位置本身一定代表一个数或未知量而只是强调这个位置被用来赋予在该位置或其附近位置上所放置的数据的含义。位置示数法不仅造就了最早的十进位值制记数法而且利用位置标示不同的未知数或未知数的幂进而通过简单操作实现代数运算的功能。本文揭示比之近现代数学中的代数符号及其运算中国古代的位置示数法还未发展出那么丰富的功能就已经在相当长的时期内失传但它在某些方面却更具优势。本文提出将中国传统数学中充分发挥位置功能的思想和方法与现代数学的符号表示法结合起来借助现代计算机技术或许可以为现代数学的发展提供新的思路从而为中华优秀传统科技文化在新时代的弘扬提供一个新的契机。
1 算筹与筹算
中国传统数学对位置的开发利用始于算筹记数法。算筹是中国古代长期用来记数和计算的工具。古人用算筹来进行记数、表示数量关系并进而以此为基础进行演算。这些使用算筹的活动和相应的方法叫做筹算。位置示数法就是基于筹算语境而发展起来的数学方法。当然这种方法后来也在珠算中发挥作用。
算筹又称算、筹、策、筹策、算子等。算筹本身非常简单就是长条形小棍材质有竹、木、金属、骨头乃至象牙等但主要是竹和木尤以竹质为多所以表示算筹的字往往从竹。
算筹记数包括两个方面。一方面用算筹表示 1-9 的基本数字时有纵、横两种形式
表 1 其中对于 1 至 5表示几就用几根算筹对于 6 至 9用一根放在上面的算筹表示所含的 5比 5 多几就在下面用几根算筹与表示 5 的算筹垂直靠拢放置。另一方面用算筹表示十进制整数时个、百、万等奇数位用纵式十、千、十万等偶数位用横式纵、横交错摆放。若某位上数字为零则空出相应的位置。如 68012 用算筹表示即 [2, 4-7]。此外古人席地而坐个位数字摆放在右膝盖正前方的位置这样就可以很方便地对末几位全为零的数如 560、5600进行区分。
算筹记数可以追溯到原始社会以草茎、小棍记数上述算筹记数制度应出现于西周和春秋之交而可能更早。这种记数法只用 9 套符号每套纵、横 2 个同一数字横式和纵式视为一个的话则只是 9 个符号就可以表示任意的自然数是世界上最早的典型的十进位值制记数法。除符号形式外它与今天的印度 - 阿拉伯数字记数法相同而早于后者至少数百年。不仅如此古人还通过算筹的颜色红、黑、形状截面为三角形、长方形或摆放方式等来表示正负数。[2, 4-7]
2 位置的数值功能
前面已经说到中国古代的算筹记数法采用十进位值制。在这记数系统中同一个数字符号 a a a 放在不同的数位表示不同的数值在个位表示 a a a在十位表示 a a a 个十在百位表示 a a a 个百。数字摆放所处的位置标示相应的数字单位这是位置在中国古代数学中最常见和直观的功能它也一直沿用于现代的世界各地。当然中国古代的算筹记数法所摆成的符号与印度 - 阿拉伯数码形状不同而后者在不同时代和地区的写法也有所变化。
3 位置的未知量功能
中国古代数学中位置也具有标识未知数的功能。当然这种功能是通过一定的规则来实现的。首先看现在常用的线性方程组及其解法中国古代早在两千多年前就有相应的列法和解法就称为 “方程”《九章算术》专设第八章 “方程” 章来处理这类问题。不过古人不用符号表示未知数而是用不同的位置来体现不同的未知量或常数。如第一题是
今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉实三十四斗上禾一秉中秉二秉下禾三秉实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何[9]
其中 “秉” 是量词表示把、束。“禾” 是从田间粟的植株收割下来带有茎叶和谷穂的部分“实” 是从禾上打下来的谷子。这个问题假设有上、中、下三等禾已知它们的秉数的 3 种组合各得到已知数量的谷子体积要求出每等禾一秉分别能打下多少谷子。按现代的方法可设每秉上等禾、中等禾和下等禾打出的谷子分别为 x x x 斗、 y y y 斗和 z z z 斗那么由题设中每组已知条件可分别列出一个代数方程式。把 3 个代数方程式联立起来就得到一个线性方程组 { 3 x 2 y z 39 ( 1 ) 2 x 3 y z 34 ( 2 ) x 2 y 3 z 26 ( 3 ) \begin{cases} 3x 2y z 39 \quad(1)\\ 2x 3y z 34 \quad(2)\\ x 2y 3z 26 \quad(3) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧3x2yz39(1)2x3yz34(2)x2y3z26(3)
《九章算术》用算筹将三个等量关系表示成右、中、左三列数形成一个方程如图 1-1如果把算筹符号换成现代的印度 - 阿拉伯数字便得到图 1-2。可以看出只要把图 1 的竖列变成横行则与现代的增广矩阵并无二致。所以古代的方程是一种采用类似于现代增广矩阵的简单形式它只用几组数就构成一个整体这个整体对应于一个联立线性方程组。 这种表示法的核心是将等量关系中的具体数字按特定的顺序进行排布
1各个等量关系中诸未知量的倍数即现代数学中未知量的系数在摆放到表示这些等量关系的各列中时都具有相同的顺序。按现代的说法就是将各列中 x x x、 y y y、 z z z 的系数都分别放置于从上至下的第一、二、三个位置。可见各系数所处的位置具有表示相应未知量的功能。
2各个等量关系中的常数项总是放在对应列中的最下位置。也就是说最下位置具有标示常数项的功能。
因此尽管当时没有使用未知量的符号也没有把常数项与未知项用可见的符号区分开来却通过无形的位置把它们都标识了出来实现了近一千七八百年以后才采用的代数符号的功能。这种 “方程” 的表达方式与欧洲两千年后用分离系数法表示线性方程组的增广矩阵在形式和结构上都极为相似。不仅如此中国上古时代 “方程” 的求解变换与增广矩阵的变换也是非常相似的。古代 “方程” 是增广矩阵的一个太过早熟的先驱。法国科学院院士、曾任苏黎士大学数学系主任的 P. Gabrieal 编写的教科书《矩阵、几何、线性代数》Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra第 2 节题为 “方程算法”Der Fang-Cheng Algorithmus将处理线性方程组的增广矩阵方法称为 “方程法”Fang-Cheng-Regel取代了以前的流行称谓 “高斯消元法” [10]。另外正是由于 “方程” 这种特殊的结构与表达方式导致了中国早在战国时代就引入了正负数概念并能顺利地进行正负数的四则运算而没有陷入欧洲直到 19 世纪还存在的关于负数合法性的纠结中。[7, 11]
4 位置指示未知数的幂
对于一元多项式或一元高次方程中国古代不用未知数符号自然也就没有符号来表示未知数的幂。古人想到的办法还是通过位置来区分。他们将表示某个数的算筹放置在特定的位置来表明它是未知数若干次幂的倍数或标示它为常数项。例如在宋金元时期对于一元高次方程通常将常数项、一次项、二次项直到最高项的系数从下至上排列也有反过来排列的就可以把它表示出来。
也就是说从下至上的位置对应着已知数常数按现代的说法也可以说是未知数的 0 次方、未知数的一次方、未知数的二次方、…、未知数的最高次方。而一个位置上放着表示某数的算筹表示这个数与该位置表示的未知数的幂相乘 或表示放在该位置的数为已知数也可以说是该数与未知数的 0 次方相乘。图 2-1 是《测圆海镜》卷 3 第 5 题的算草中列出的带从开方式把算筹符号改为印度 - 阿拉伯数字后即图 2-2相当于一元三次方程 x 3 − 336 x 2 5184 x 2488320 0 x^3 - 336x^2 5184x 2488320 0 x3−336x25184x24883200。如果有必要古人也在标示一次项的位置的旁边放置一个 “元” 字或在常数项的旁边放置一个 “太” 字 [5]以避免混淆这是方程式在当时的筹算表达式中唯一出现的符号它们是数学符号但不能算是代数符号它们与现代的代数符号只有一点点相似。因为无论是 “元” 字还是 “太” 字都并不表示具体的某个数或某个未知数它们只是标示它旁边的位置而不是它自己所在的位置上所放的数是一次项或常数项。 在对应于一元三次方程式 x 3 − 336 x 2 5184 x 2488320 0 x^3 - 336x^2 5184x 2488320 0 x3−336x25184x24883200 的筹算表达式图 2-1 中在一次项系数从下往上第 2 个数的旁边放一个 “元” 字就得到图 3-1在常数项最下位置的旁边放置 “太” 字就得到图 4-1。需要注意的是这里的 “元” 字或 “太” 字在当时的筹算操作中是写在一个卡片上的解题者可以随时根据需要移动它。
5 一个操作一组运算
位置标示未知量或其幂的方法不光比符号表示法简单而且在计算过程中具有相当的优势。比如上述图 3-1 表示的一元三次方程式 x 3 − 336 x 2 5184 x 2488320 0 x^3 - 336x^2 5184x 2488320 0 x3−336x25184x24883200如果方程两边同时乘以 x x x在把每一项都乘以 x x x 时用现代的代数 符号表示法需要把每一项都重新写一遍得到 x 4 − 336 x 3 5184 x 2 2488320 x 0 x^4 - 336x^3 5184x^2 2488320x 0 x4−336x35184x22488320x0而中国古代就简单多了只需要将 “元” 字卡片向下移动一位就可以表示出来图 5如果是将原方程两边除以 x x x现代的符号表示法需要把每一项重新写一遍 成为 x 2 − 336 x 5184 2488320 x 0 x^2 - 336x 5184 \frac{2488320}{x} 0 x2−336x5184x24883200而中国古代则只需把 “元” 字向上移一位即可图 6。实际上如果要乘以除以 x x x 的 n n n 次方则只要将 “元” 字向下向上移动 n n n 位即可。这种简单的数学操作比今天利用代数符号做运算有很大优势一是不需要每一项都写要省事得多也简单得多二是更不容易出错。可见古代这种移动位置的简单操作相当于方程的每一项都乘以或除以未知数的幂起到了进行一组运算的功效而且方程的项数越多其优势就越明显。同样地古人有时不用 “元” 字标识未知数的一次项而是用 “太” 字标识常数项也可以通过移到 “太” 字的位置来做类似的乘除运算。 除了多元一次方程组和一元高次方程宋金元时期的数学家发展出二元、三元和四元的高次方程组。如元代数学家朱世杰利用下、左、右、上四个方向上不同的位置标示天 x x x、地 ( y y y)、人 ( z z z)、物 ( w w w) 四个未知数的相应次数的幂以及它们的乘积如图 7 所示从而利用具有分离系数法功能的位置示数法可以表示多至四个未知数的多元高次方程组并通过 “上升下降”、“左进右退”、“剔而消之”、“余筹易位” 之类的操作进行消元和变换予以求解。
中国古代数学充分发掘了位置的功能不仅有位值观念还用来表示未知数和它们的幂及其乘积取得了后来符号代数的功效这种传统方法甚至在乘以、除以未知数的幂等方面还明显优于后来的符号代数方法。其中蕴含的创造精神和深刻思想可以为今天的数学研究提供借鉴。
6 中国古代位置示数法的现代价值
中国社会在清末民初发生剧变出现所谓 “三千年未有之大变局”整个知识体系发生从传统向现代的转型数学也是如此。从知识体系和表达方式上看中国现代的数学在总体上是引进的但这并不意味着中国传统数学在现代消失了它实际上是已融入到现代的数学体系中。比如十进位值制、九九、四则运算、比和比例、盈不足术、开方、面积和体积计算方法等。这些数学知识已成为今天人们工作和生活中一些基本的知识和观念只是由于表达形式上的差异、数学教学中鲜有讲述其来源等原因造成今人对中国古代数学的疏离感所以现代人就很少知道其源于中国传统数学。因此我们建议在今天的教科书和教辅材料中在教师的教学工作中要把这些数学知识和数学方法的中国古代来源讲述清楚并指出包括位置示数法在内的一些中国古代数学的方法和思想在某些方面的先进性。这既是对历史事实和古代先贤的尊重也有助于激励年轻学子的文化自信避免数典忘祖之憾。
中国传统数学内容丰富多彩其中有些方法和思想由于年代久远和中国学术从传统向现代的转型而湮没不彰。这种情况并不都是优胜劣汰的结果。历史的淘汰有其复杂性中国传统数学的历史也是如此。比如被称赞为 “精妙” 的祖冲之《缀术》在宋代失传而宋元时代的重要成就天元术、四元术等也在明代没有得到继承都是水平高却被淘汰的例证。这些先进数学知识失传的原因是多方面其中一个原因反而是它们超越同时代绝大多数人的水平。既然被淘汰的不一定是落后的那么如果我们仔细考察中国古代数学的思想和方法就可以从中发现和汲取先进的营养为今所用。在这一方面吴文俊先生已经做出了表率。
1974 年春在特殊的历史条件下吴文俊开始学习中国古代数学史。经过两年多时间的研习他形成了自己关于中国古代数学特征的认识。他认为“中国古代数学基本上是一种机械化的数学”。中国古代算法不仅具有程序化、机械化和构造性特征而且具有重视列方程、解方程的传统并形成了系统的方法和理论同时也发展出了几何代数化的思想方法吴文俊对此有深刻的认识从而大大启发了他在机器证明数学定理方面的研究。从 1976 底至 1977 年初吴文俊在机器证明定理方面取得重大突破之后又进一步开创了数学机械化领域的新局面。他的机器证明研究采用不同于西方流行的数理逻辑方法而是通过建立坐标系将几何问题代数化通过方程和多项式理论来解决问题。他说“我们从事机械化定理证明工作获得成果之前对泰斯基的已有工作并无接触更没有想到希尔伯特的《几何基础》会与机械化有任何关系。我们是在中国古代数学的启发之下提出问题并想出解决办法来的。” 他声明自己 “关于数学机械化的研究工作就是在这些思想与成就启发之下的产物它是我国自《九章算术》以迄宋元时期数学的直接继承”。[14]
上述吴文俊在数学史研究基础上所做的数学机械化研究说明中国古代数学对现代数学也能提供思想和方法上的借鉴和启迪。
中国古代数学充分发挥位置的功能不仅将它用于位值制记数法而且用它表示未知数及其幂甚至通过移动个别文字卡片来实现一组运算。特别是四元术还利用各个方向的不同位置来表示各种的算式。不过摆放算筹在水平面上只能利用前、后、左、右四个方向标示四个未知量而在竖直面上摆放算筹就会由于重力的作用难以实现因此超过四元的筹算操作法有着天然的难度。尽管如此中国传统数学中利用多维度上的位置与算筹记数法以及个别的文字卡片相结合来达到后来运用代数表达式、进行代数运算之效果的方法展现了具有明显不同于现代符号代数的中国特征和某些优势。认真分析这种方法的原理和特征或许可以为现代数学提供启示。
由于技术条件的限制中国古代筹算只能利用水平的二维操作面从而使位置示数法局限于四个未知数之内。现代计算机技术的高度发展可以模拟三维的空间结构甚至能够可视化多维的空间结构。将这种技术结合到中国古代的四元术上可以很快地将四元拓展到更多元的情形。如果再加以扩展将中国传统数学中充分发挥位置作用的思想和方法与现代计算机技术结合起来或许有可能为现代数学的发展提供新的思路。比如采用现代的符号表示法与位置示数法表示各种算式同时将算式置于不同的空间位置表示不同的含义再根据问题类型的不同性质和条件设计不同位置上的算式之间的运算法则从而在发挥位置功能的同时既能突破四元术由于所利用的维数少而导致未知量个数上的限制又能充分保留现代符号代数的既有优点。这样古老的数学操作方法可以转化为现代数学的有效方法从而为数学研究提供新的发展途径。当然这只是一种可能的思路是不是可行怎么样才可行皆有待今后的探索和验证。可以肯定的是具体的应用无疑会存在意想不到的困难还有待多方努力探索。
中国古代数学内容丰富思想和方法多样本文只是对其中位置示数法的特征做一简明的阐述并对其现代意义做初步的探索。更全面的讨论尚需俟诸异日。
致谢 中国科学院数学与系统科学研究院魏蕾博士帮助查找资料谨致谢忱。
注释 本文系中国科学院战略研究专项、中国科学院自然科学史研究所 “十四・五” 规划重大项目 “中国科技传统及其现实意义研究”编号GHJ-ZLZX-2021-17-2的阶段研究成果。 钱宝琮很早就比较系统地提出位置在中国古代数学中的作用认为中国自古以来记数法就遵从十进位制用分离系数法表示开方式和方程是中国古代数学的特征 [2]。其论述具有重要意义但不是从代数符号发展的视角论述的而且有些地方也不太准确。 已有学者注意提出中国宋元时期的 “天元术”、“四元术” 在向 “符号化” 方面 “迈出了重要一步”[3]就功能的相似性而言是可以这样讲的但这种说法容易忽视中国古代数学方法的特色。因为宋元数学家虽然有 “立天元一为什么”、“立地元一为什么” 等说法相当于现代 “设 x x x 为什么”、“设 y y y 为什么”但在算式中 “天”、“地” 等汉字往往并不出现而是通过位置来表现它们及其幂相应的运算方法也有很大不同。
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