数学建模模型分类核心笔记
一、预测类模型
1. 定义
基于历史数据或已知现象，挖掘内在发展规律，对未来趋势或样本内未知属性进行推断的模型类型，核心是“数据驱动+规律推导”。
2. 关键分类（按数据量与预测范围）
- 样本内预测：基于已有样本，预测样本中未明确属性
- 小样本内部预测（如40人身高体重数据预测性别）
- 大样本内部预测（海量数据中推断未知属性）
- 未来预测：基于时序数据，预测未来时段结果
- 小样本未来预测（如1-10年数据预测第11年值）
- 大样本未来预测（含随机/周期特征，如股市、气温、信号预测）
3. 常用模型/方法
- 小样本内部预测：插值与拟合
- 中大样本内部预测：回归分析（线性/非线性回归）
- 小样本未来预测：灰色预测（GM模型）
- 大样本（随机/周期特征）：神经网络（BP神经网络、LSTM等）
4. 竞赛案例
- 2007年国赛A题：中国人口增长预测（灰色预测/回归分析）
- 2016年国赛：电池剩余放电时间预测（神经网络/时序分析）
二、评价类模型
1. 定义
根据事物核心特性，构建评价指标体系，对目标对象进行量化/定性评估的模型类型，核心是“指标构建+权重分配”。
2. 核心特征
无固定标准答案，需自主设计评价指标体系，指标权重与模型选择直接影响结果合理性。
3. 常用模型/方法
- 层次分析法（AHP）：适用于多准则、多目标的定性+定量评价（如方案优先级排序）
- 模糊综合评价法：适用于评价标准模糊的场景（如水质优劣、产品口感评级）
- TOPSIS评价法：适用于多对象的优劣排序（如多地区环境质量对比）
4. 竞赛案例
- 2005年国赛：长江水质评价（构建含氧量、COD值等指标的模糊综合评价模型）
- 葡萄酒质价评价（基于理化指标的TOPSIS评价模型）
三、机理分析类模型
1. 定义
基于物理、化学等学科原理，分析事物内在因果关系，推导数学表达式的模型类型，核心是“学科机理+逻辑推导”，区别于纯数据驱动模型。
2. 核心要求
需跨学科知识储备（如热传递、流体力学、成像原理），强调“因果逻辑”而非单纯数据拟合。
3. 常用模型思路
- 基于物理定律推导（如热传递方程、流体力学方程）
- 基于系统内在关联构建（如CT成像原理反推标定模型）
4. 竞赛案例
- 2018年国赛A题：高危作业专用服装（热传递方程构建服装层级热交换模型）
- 2017年国赛A题：CT系统标定问题（基于CT成像原理推导标定算法模型）
四、优化类模型
1. 定义
在约束条件下，寻找使目标函数达到最优（最大/最小）的模型类型，核心是“目标函数+约束条件”，国内竞赛高频模型。
2. 关键分类（按目标数量）
- 单目标优化：仅1个优化目标（如公交车数量固定时最大化盈利）
- 多目标优化：多个优化目标（如公交车线路兼顾“盈利最大”与“载客量最高”）
3. 核心要素（缺一不可）
- 目标函数：需优化的数学表达式（如“盈利=票价×载客量-运营成本”）
- 决策变量：影响目标的可变参数（如公交车线路、发车频次）
- 约束条件：优化的限制条件（如“公交车数量≤50辆”“线路覆盖≥80%居民区”）
4. 常用模型/方法
- 线性规划（LP）：目标函数与约束均为线性关系
- 非线性规划（NLP）：目标函数或约束含非线性项
- 整数规划（IP）：决策变量为整数（如设备数量、线路条数）
- 多目标优化：加权法、层次分析法（将多目标转化为单目标）
5. 竞赛案例
- 2006年高教版A题：出版社资源配置（线性规划模型，固定资源下最大化利润）
- 2011年高教版题：地铁交巡警服务平台（整数规划模型，优化平台位置最小化应急响应时间）