2025-09-02 12:15:59 星期二
Chapter 2 线性算子与线性泛函
一、线性算子的概念
定义 1.1 设 \(D \subset X\)，映射 \(T: D \to Y\) 称为线性算子，若对任意 \(\alpha, \beta \in \mathbb{F}\) 和 \(x, y \in D\)，有
若 \(Y = \mathbb{F}\)（实数或复数域），则称 \(T\) 为线性泛函。
定义 1.2 设 \(X, Y\) 为 \(F^*\) 空间（赋准范数的线性空间），\(x_n \to x\) 定义为 \(\|x_n - x\| \to 0\)。若 \(D(T) = X\)，且 \(x_n \to x_0\) 蕴含 \(T(x_n) \to T(x_0)\)，则称 \(T\) 在 \(x_0\) 处连续。
命题 1.1 线性算子 \(T\) 在 \(D(T)\) 上连续当且仅当 \(T\) 在 \(x=0\) 处连续。
证明
\((\Rightarrow)\) 显然。
\((\Leftarrow)\) 设 \(x_n \to x_0\)，则 \(x_n - x_0 \to 0\)，故 \(T(x_n - x_0) \to T(0) = 0\)，即 \(T(x_n) \to T(x_0)\)。
定义 1.3（有界算子） 设 \(X, Y\) 为 \(B^*\) 空间（赋范线性空间），线性算子 \(T: X \to Y\) 称为有界的，若存在 \(M > 0\) 使得
命题 1.2 设 \(X, Y\) 为 \(B^*\) 空间，线性算子 \(T\) 连续当且仅当 \(T\) 有界。
证明
\((\Leftarrow)\) 若 \(T\) 有界，则 \(\|Tx_n - Tx_0\| \leq M \|x_n - x_0\| \to 0\)。
\((\Rightarrow)\) 若 \(T\) 无界，则对每个 \(n\)，存在 \(x_n\) 使得 \(\|Tx_n\| > n \|x_n\|\)。令 \(y_n = x_n / (n \|x_n\|)\)，则 \(\|y_n\| = 1/n \to 0\)，但 \(\|Ty_n\| > 1\)，与连续性矛盾。
定义 1.4（算子范数） 记 \(L(X,Y)\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的有界线性算子全体，定义范数
定理 1.3 若 \(X\) 为 \(B^*\) 空间，\(Y\) 为 Banach 空间，则 \((L(X,Y), \|\cdot\|)\) 是 Banach 空间。
证明
线性性与范数性质易验证。设 \(\{T_n\}\) 为 Cauchy 列，则对任意 \(x \in X\)，\(\{T_n x\}\) 为 \(Y\) 中 Cauchy 列，故存在极限 \(Tx = \lim T_n x\)。可证 \(T\) 线性有界，且 \(\|T_n - T\| \to 0\)。
二、开映射定理
定理 2.1（Banach） 若 \(X, Y\) 为 Banach 空间，\(T \in L(X,Y)\) 为双射，则 \(T^{-1} \in L(Y,X)\)。
定理 2.2（开映射定理） 若 \(X, Y\) 为 Banach 空间，\(T \in L(X,Y)\) 为满射，则 \(T\) 是开映射。
定义 2.1（闭算子） 线性算子 \(T: D(T) \subset X \to Y\) 称为闭的，若对任意 \(\{x_n\} \subset D(T)\)，\(x_n \to x\) 且 \(T x_n \to y\) 蕴含 \(x \in D(T)\) 且 \(y = Tx\)。
例 \(C[0,1]\) 上定义 \(D(T) = C^1[0,1]\)，\(T = \frac{d}{dt}\)，则 \(T\) 是闭算子。
三、闭图像定理
定理 3.1 连续线性算子 \(T: D(T) \to Y\) 可唯一延拓到 \(\overline{D(T)}\) 上，保持范数不变。
定理 3.2 (等价范数定理) 设 \(X\) 上有两个范数 \(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\)，如果 \(X\) 关于 \(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\) 都构成 Banach 空间，而且 \(\|\cdot\|_2\) 强于 \(\|\cdot\|_1\)，则 \(\|\cdot\|_1\) 与 \(\|\cdot\|_2\) 等价。
证明 考虑恒等算子 \(I: X \to X\)，分别赋予范数 \(\|\cdot\|_2\) 和 \(\|\cdot\|_1\)。由于 \(\|\cdot\|_2\) 比 \(\|\cdot\|_1\) 强，存在 \(C > 0\) 使得
而 \(I\) 是连续双射，由开映射定理 \(\Rightarrow\) \(I\) 是开映射，故 \(I^{-1}\) 连续，即存在 \(M > 0\) 使得
因此 \(\|\cdot\|_1\) 与 \(\|\cdot\|_2\) 等价。
定理 3.3 (闭图像定理) \(X, Y\) 都是 Banach 空间，\(T: X \to Y\) 是闭线性算子，且 \(D(T)\) 是闭集，则 \(T\) 连续。
证明 由于 \(D(T)\) 是闭的 \(\Rightarrow\) \(D(T)\) 完备，则 \(D(T)\) 带上 \(X\) 的范数后是 Banach 空间。在 \(D(T)\) 上定义新范数
证明 \((D(T), \|\cdot\|_G)\) 是 Banach 空间：取 Cauchy 列 \(\{x_n\}\)，
则 \(\|x_n - x_m\|_1 \to 0\) 且 \(\|Tx_n - Tx_m\|_2 \to 0\)，即 \(\{x_n\}\) 和 \(\{Tx_n\}\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 中的 Cauchy 列。由 \(X, Y\) 的完备性，存在 \(x^* \in X\), \(y^* \in Y\) 使得 \(x_n \to x^*\), \(Tx_n \to y^*\)。而 \(T\) 是闭算子 \(\Rightarrow\) \(x^* \in D(T)\) 且 \(y^* = Tx^*\)，故
即 \(\{x_n\}\) 在 \(\|\cdot\|_G\) 意义下收敛于 \(x^*\)，故 \((D(T), \|\cdot\|_G)\) 是 Banach 空间。
而 \(\|x\|_G \geq \|x\|_1\)，即 \(\|\cdot\|_G\) 强于 \(\|\cdot\|_1\)，由等价范数定理 \(\Rightarrow\) \(\|\cdot\|_G\) 与 \(\|\cdot\|_1\) 等价，即存在 \(M > 0\) 使得
于是
故 \(T\) 连续。
定理 3.4 (共鸣定理) 设 \(X\) 是 Banach 空间，\(Y\) 是 \(B^*\) 空间。如果 \(W \subset L(X,Y)\) 且
\[\sup_{A \in W} \|Ax\| < \infty \quad \forall x \in X, \]那么存在 \(M > 0\) 使得 \(\|A\| \leq M\) 对所有 \(A \in W\) 成立。
证明 定义新范数
任取 Cauchy 列 \(\{x_n\}\)，
则 \(\|x_n - x_m\|_1 \to 0\) 且 \(\sup_{A \in W} \|A(x_n - x_m)\| \to 0\)。
而 \((X, \|\cdot\|_1)\) 是 Banach 空间 \(\Rightarrow\) 存在 \(x^* \in X\) 使得 \(x_n \to x^*\)。由 \(\sup_{A \in W} \|A(x_n - x_m)\| \to 0\) 可知：
\(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists N\), \(\forall n, m > N\), 有 \(\|A x_n - A x_m\| < \varepsilon\) 对所有 \(A \in W\) 成立。
令 \(m \to \infty\)，则 \(\|A x_n - A x^*\| \leq \varepsilon\) 对所有 \(A \in W\) 成立，故 \(A x_n \to A x^*\)。
（后续证明需说明 \((X, \|\cdot\|_W)\) 完备，且 \(\|\cdot\|_W\) 强于 \(\|\cdot\|_1\)，从而由等价范数定理得结论。）