网站开发前期功能策划,深圳电器网站建设,网上效果代码网站可以下载吗,网站建设赶集网文章目录 引言一、二次型的基本概念及其标准型1.2 基本定理1.3 二次型标准化方法1. 配方法2. 正交变换法 写在最后 引言
了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后#xff0c;我们继续往后学习二次型的内容。 一、二次型的基本概念及其标准型
1.2 基本定理
定理… 文章目录 引言一、二次型的基本概念及其标准型1.2 基本定理1.3 二次型标准化方法1. 配方法2. 正交变换法 写在最后 引言
了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后我们继续往后学习二次型的内容。 一、二次型的基本概念及其标准型
1.2 基本定理
定理 1 —— 标准型定理任何二次型 X T A X \pmb{X}^T\pmb{AX} XTAX 总可以经过可逆的线性变换 X P Y \pmb{XPY} XPY 即 P \pmb{P} P 为可逆矩阵把二次型 f ( X ) f(\pmb{X}) f(X) 化为标准型即 f ( X ) Y T ( P T A P ) Y l 1 y 1 2 l 2 y 2 2 ⋯ l m y m 2 , f(\pmb{X})\pmb{Y}^T(\pmb{P}^T\pmb{AP})\pmb{Y}l_1y_1^2l_2y_2^2\cdotsl_my_m^2, f(X)YT(PTAP)Yl1y12l2y22⋯lmym2, 其中 m m m 为标准型中非零系数的个数。
定理 2 —— 惯性定理二次型的标准型的系数中正、负系数的个数保持不变分别称为二次型的正、负惯性指数。
定理 3 —— 矩阵合同定理设 A , B \pmb{A,B} A,B 为 n n n 阶实对称矩阵则 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B 的充分必要条件是 A , B \pmb{A,B} A,B 的特征值中正、负及零的个数相同。 从这个角度也可以理解昨天那篇文章中为什么实对称矩阵相似一定合同。因为相似的话特征值都一样了自然正、负及零的个数相同反之合同的话只是个数相同不能推出特征值相同。 定理 4 —— 对二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) X T A X ( A T A ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\pmb{X^TAX(A^TA)} f(x1,x2,⋯,xn)XTAX(ATA) 一定存在正交矩阵 Q \pmb{Q} Q 使得经可逆线性变换 X Q Y \pmb{XQY} XQY 后有 X T A X Y T ( Q T A Q ) Y λ 1 y 1 2 λ 2 y 2 2 ⋯ λ n y n 2 , \pmb{X^TAXY^T(Q^TAQ)Y}\lambda_1y_1^2\lambda_2y_2^2\cdots\lambda_ny_n^2, XTAXYT(QTAQ)Yλ1y12λ2y22⋯λnyn2, 其中 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 为矩阵 A \pmb{A} A 的特征值。
1.3 二次型标准化方法
1. 配方法
即通过配方的方法把二次型化为若干部分的平方和与差然后进行变换的方法。
如设 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 2 2 x 2 2 − 5 x 3 2 − 2 x 1 x 2 2 x 2 x 3 X T A X f(x_1,x_2,x_3)x_1^22x_2^2-5x_3^2-2x_1x_22x_2x_3\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)x122x22−5x32−2x1x22x2x3XTAX 其中 A [ 1 − 1 0 − 1 2 1 0 1 − 5 ] , X [ x 1 x 2 x 3 ] \pmb{A}\begin{bmatrix} 1 -1 0\\ -1 2 1\\ 0 1 -5 \end{bmatrix},\pmb{X}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} A 1−10−12101−5 ,X x1x2x3 配方得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 2 2 x 2 2 − 5 x 3 2 − 2 x 1 x 2 2 x 2 x 3 ( x 1 − x 2 ) 2 ( x 2 − x 3 ) 2 − 6 x 3 2 , f(x_1,x_2,x_3)x_1^22x_2^2-5x_3^2-2x_1x_22x_2x_3(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2-6x_3^2, f(x1,x2,x3)x122x22−5x32−2x1x22x2x3(x1−x2)2(x2−x3)2−6x32, 令 x 1 − x 2 y 1 , x 2 − x 3 y 2 , x 3 y 3 x_1-x_2y_1,x_2-x_3y_2,x_3y_3 x1−x2y1,x2−x3y2,x3y3 即有 x 1 y 1 y 2 − y 3 , x 2 y 2 − y 3 , x 3 y 3 x_1y_1y_2-y_3,x_2y_2-y_3,x_3y_3 x1y1y2−y3,x2y2−y3,x3y3 用矩阵形式表达即 X P Y \pmb{XPY} XPY 其中 P [ 1 1 − 1 0 1 − 1 0 0 1 ] , Y [ y 1 y 2 y 3 ] \pmb{P}\begin{bmatrix} 1 1 -1\\ 0 1 -1\\ 0 0 1 \end{bmatrix},\pmb{Y}\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} P 100110−1−11 ,Y y1y2y3 。作可逆线性变换 X P Y \pmb{XPY} XPY 使得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) y 1 2 y 2 2 − 6 y 3 2 . f(x_1,x_2,x_3)y_1^2y_2^2-6y_3^2. f(x1,x2,x3)y12y22−6y32.
2. 正交变换法
即利用定理 4 把二次型标准化。其基本步骤如下
1由特征方程 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda \pmb{E-A}|0 ∣λE−A∣0 求出矩阵 A \pmb{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn
2求出方程组 ( λ i E − A ) X 0 ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (\lambda_i\pmb{E-A})\pmb{X}\pmb{0}(i1,2,\cdots,n) (λiE−A)X0(i1,2,⋯,n)重特征值只代一次的基础解系从而获得矩阵 A \pmb{A} A 的线性无关的特征向量 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n} ξ1,ξ2,⋯,ξn
3将 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n} ξ1,ξ2,⋯,ξn 进行施密特正交化只在重特征值对应的线性无关的特征向量内部进行和规范化得到矩阵 A \pmb{A} A 的两两正交规范的特征向量 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n} γ1,γ2,⋯,γn
4令 Q ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n ) \pmb{Q}(\pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n}) Q(γ1,γ2,⋯,γn) 则 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵且 Q T A Q [ λ 1 ⋱ λ n ] \pmb{Q^TAQ}\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \ddots \\ \lambda_n \end{bmatrix} QTAQ λ1⋱λn
5作正交变换 X Q Y \pmb{XQY} XQY 则 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) X T A X ⟹ Y T ( Q T A Q ) Y λ 1 y 1 2 λ 2 y 2 2 ⋯ λ n y n 2 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\pmb{X^TAX\Longrightarrow Y^T(Q^TAQ)Y}\lambda_1y_1^2\lambda_2y_2^2\cdots\lambda_ny_n^2 f(x1,x2,⋯,xn)XTAX⟹YT(QTAQ)Yλ1y12λ2y22⋯λnyn2 1采用正交变换法化标准型时标准型的系数一定为矩阵 A \pmb{A} A 的特征值。配方法则不一定但是系数中正、负系数的个数是唯一的。 2二次型的规范型是唯一的。 3正交变换不改变向量的长度即 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵且向量 X , Y \pmb{X,Y} X,Y 满足 X Q Y \pmb{XQY} XQY 则有 ∣ X ∣ ∣ Y ∣ |\pmb{X}||\pmb{Y}| ∣X∣∣Y∣ 。因为 ∣ X ∣ 2 X T X ( Q Y ) T Q Y Y T ( Q Q ) Y Y T Y ∣ Y ∣ 2 |\pmb{X}|^2\pmb{X}^T\pmb{X}(\pmb{QY})^T\pmb{QY}\pmb{Y}^T(\pmb{Q}\pmb{Q)\pmb{Y}}\pmb{Y}^T\pmb{Y}|\pmb{Y}|^2 ∣X∣2XTX(QY)TQYYT(QQ)YYTY∣Y∣2 ∣ X ∣ , ∣ Y ∣ 0 \pmb{|X|,|Y|}0 ∣X∣,∣Y∣0 故 ∣ X ∣ ∣ Y ∣ |\pmb{X}||\pmb{Y}| ∣X∣∣Y∣ 。 写在最后
先到这吧慢慢来做点题目巩固下。下一篇文章我们来学习关于正定矩阵的内容。
