网站开发 公司简介,php做网站有哪些好处,长沙短视频制作,合同协议模板文章目录 1. 矩阵的逆矩阵1.1 AB的逆矩阵1.2 转置矩阵 2. 2X2矩阵A消元3. 3X3矩阵A消元4. 运算量5. 置换矩阵-左行右列 本文主要目的是为了通过矩阵乘法实现矩阵A的分解。 1. 矩阵的逆矩阵
1.1 AB的逆矩阵
假设A,B矩阵都可逆 A ( B B − 1 ) A − 1 I (1) A(BB^{-1})A^{-1}… 文章目录 1. 矩阵的逆矩阵1.1 AB的逆矩阵1.2 转置矩阵 2. 2X2矩阵A消元3. 3X3矩阵A消元4. 运算量5. 置换矩阵-左行右列 本文主要目的是为了通过矩阵乘法实现矩阵A的分解。 1. 矩阵的逆矩阵
1.1 AB的逆矩阵
假设A,B矩阵都可逆 A ( B B − 1 ) A − 1 I (1) A(BB^{-1})A^{-1}I\tag{1} A(BB−1)A−1I(1)可得如下 ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) I (2) (AB)(B^{-1}A^{-1})I\tag{2} (AB)(B−1A−1)I(2)所以当AB矩阵单独可逆下 ( A B ) − 1 B − 1 A − 1 (3) (AB)^{-1}B^{-1}A^{-1}\tag{3} (AB)−1B−1A−1(3)
1.2 转置矩阵
由于矩阵A满足如下条件 A A − 1 I (4) AA^{-1}I\tag{4} AA−1I(4)对等式两边进行转置如下 ( A − 1 ) T A T I T I (5) (A^{-1})^TA^TI^TI\tag{5} (A−1)TATITI(5)由此可得如下 ( A T ) − 1 ( A − 1 ) T (6) (A^T)^{-1}(A^{-1})^{T}\tag{6} (AT)−1(A−1)T(6)
2. 2X2矩阵A消元
假设矩阵A经过行与行之间的计算可以得到上三角矩阵U 可以简化成如下, E 21 [ 1 0 − 4 1 ] ; A [ 2 1 8 7 ] ; U [ 2 1 0 3 ] ; (7) E_{21}\begin{bmatrix}10\\\\-41\end{bmatrix};A\begin{bmatrix}21\\\\87\end{bmatrix};U\begin{bmatrix}21\\\\03\end{bmatrix};\tag{7} E21 1−401 ;A 2817 ;U 2013 ;(7) E 21 A U (8) E_{21}AU\tag{8} E21AU(8) [ 1 0 − 4 1 ] [ 2 1 8 7 ] [ 2 1 0 3 ] (9) \begin{bmatrix}10\\\\-41\end{bmatrix}\begin{bmatrix}21\\\\87\end{bmatrix}\begin{bmatrix}21\\\\03\end{bmatrix}\tag{9} 1−401 2817 2013 (9)
可以将上式改成如下 A ( E 21 ) − 1 U L U (10) A(E_{21})^{-1}ULU\tag{10} A(E21)−1ULU(10) ( E 21 ) − 1 (E_{21})^{-1} (E21)−1可得如下 ( E 21 ) − 1 [ 1 0 4 1 ] (11) (E_{21})^{-1}\begin{bmatrix}10\\\\41\end{bmatrix}\tag{11} (E21)−1 1401 (11)将U进行分解可得 U [ 2 1 0 3 ] [ 2 0 0 3 ] [ 1 1 2 0 1 ] (12) U\begin{bmatrix}21\\\\03\end{bmatrix}\begin{bmatrix}20\\\\03\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\frac{1}{2}\\\\01\end{bmatrix}\tag{12} U 2013 2003 10211 (12)综上所述可得如下 A [ 2 1 8 7 ] ; L [ 1 0 4 1 ] ; D [ 2 0 0 3 ] ; U [ 1 1 2 0 1 ] (13) A\begin{bmatrix}21\\\\87\end{bmatrix};L\begin{bmatrix}10\\\\41\end{bmatrix};D\begin{bmatrix}20\\\\03\end{bmatrix};U\begin{bmatrix}1\frac{1}{2}\\\\01\end{bmatrix}\tag{13} A 2817 ;L 1401 ;D 2003 ;U 10211 (13) A L D U ALDU ALDU [ 2 1 8 7 ] [ 1 0 4 1 ] [ 2 0 0 3 ] [ 1 1 2 0 1 ] (14) \begin{bmatrix}21\\\\87\end{bmatrix}\begin{bmatrix}10\\\\41\end{bmatrix}\begin{bmatrix}20\\\\03\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\frac{1}{2}\\\\01\end{bmatrix}\tag{14} 2817 1401 2003 10211 (14)
3. 3X3矩阵A消元
同理假设有一个3X3矩阵我们可以经过行变换来消元。 E 32 E 31 E 21 A U (15) E_{32}E_{31}E_{21}AU\tag{15} E32E31E21AU(15)求逆矩阵如下 L ( E 21 ) − 1 ( E 31 ) − 1 ( E 32 ) − 1 (16) L(E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}\tag{16} L(E21)−1(E31)−1(E32)−1(16) A ( E 21 ) − 1 ( E 31 ) − 1 ( E 32 ) − 1 U (17) A(E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}U\tag{17} A(E21)−1(E31)−1(E32)−1U(17)假设如下矩阵 E 21 [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] ; E 31 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ; E 32 [ 1 0 0 0 1 0 0 − 5 1 ] ; (18) E_{21}\begin{bmatrix}100\\\\-210\\\\001\end{bmatrix};E_{31}\begin{bmatrix}100\\\\010\\\\001\end{bmatrix};E_{32}\begin{bmatrix}100\\\\010\\\\0-51\end{bmatrix};\tag{18} E21 1−20010001 ;E31 100010001 ;E32 10001−5001 ;(18) E 3221 E 32 E 21 [ 1 0 0 − 2 1 0 10 − 5 1 ] (19) E_{3221}E_{32}E_{21}\begin{bmatrix}100\\\\-210\\\\10-51\end{bmatrix}\tag{19} E3221E32E21 1−21001−5001 (19) E 21 [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] ; ⇒ ( E 21 ) − 1 [ 1 0 0 2 1 0 0 0 1 ] ; (20) E_{21}\begin{bmatrix}100\\\\-210\\\\001\end{bmatrix};\Rightarrow(E_{21})^{-1}\begin{bmatrix}100\\\\210\\\\001\end{bmatrix};\tag{20} E21 1−20010001 ;⇒(E21)−1 120010001 ;(20) E 32 [ 1 0 0 0 1 0 0 − 5 1 ] ; ⇒ ( E 32 ) − 1 [ 1 0 0 0 1 0 0 5 1 ] ; (20) E_{32}\begin{bmatrix}100\\\\010\\\\0-51\end{bmatrix};\Rightarrow(E_{32})^{-1}\begin{bmatrix}100\\\\010\\\\051\end{bmatrix};\tag{20} E32 10001−5001 ;⇒(E32)−1 100015001 ;(20) L ( E 3221 ) − 1 ( E 21 ) − 1 ( E 32 ) − 1 [ 1 0 0 2 1 0 0 5 1 ] ; (21) L(E_{3221})^{-1}(E_{21})^{-1}(E_{32})^{-1}\begin{bmatrix}100\\\\210\\\\051\end{bmatrix};\tag{21} L(E3221)−1(E21)−1(E32)−1 120015001 ;(21)综上所述 A L U (22) ALU\tag{22} ALU(22)
4. 运算量
假设我们矩阵A是100X100的矩阵那么将矩阵A通过行变换分解成ALU 一共要进行如下计算步骤 C o u n t n 2 ( n − 1 ) 2 ⋯ 2 2 1 2 1 3 n 3 1000000 3 (23) Countn^2(n-1)^2\dots2^21^2\frac{1}{3}n^3\frac{1000000}{3}\tag{23} Countn2(n−1)2⋯221231n331000000(23)
5. 置换矩阵-左行右列
左乘置换矩阵-进行行变换XA右乘置换矩阵-进行列变换AX置换矩阵指的是一列中只有一个位置为1同一列其他位置均为0,用来对矩阵进行位置交换。第一行和第二行位置交换 A [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] (24) A\begin{bmatrix}123\\\\456\\\\789\end{bmatrix}\tag{24} A 147258369 (24) B [ 4 5 6 1 2 3 7 8 9 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] (25) B\begin{bmatrix}456\\\\123\\\\789\end{bmatrix}\begin{bmatrix}010\\\\100\\\\001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}123\\\\456\\\\789\end{bmatrix}\tag{25} B 417528639 010100001 147258369 (25)
