泛函分析复习 | Chapter1 度量空间 知识点

2025-09-02 12:02:55 星期二
不想开学，只想天天和猫咪玩.

本合集只罗列重要的定义定理，不作详细的笔记，习题下午再放上.

Chapter 1 度量空间

一、压缩映射原理

定义 1.1（度量） 映射 \(\rho: X \times X \to \mathbb{R}\) 称为度量，若满足：

1. \(\rho(x,y) \geq 0\)，且 \(\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y\)；
2. \(\rho(x,y) = \rho(y,x)\)；
3. \(\rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)\)。

定义 1.2（收敛） 若 \(\rho(x_n, x_0) \to 0\)（\(n \to \infty\)），则称 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x_0\)。

定义 1.3（闭集） 若 \(E\) 中任意收敛点列的极限都属于 \(E\)，则称 \(E\) 为闭集。

定义 1.4（Cauchy 列、完备） 若 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N > 0\)，使得当 \(m,n > N\) 时 \(\rho(x_m, x_n) < \varepsilon\)，则称 \(\{x_n\}\) 为 Cauchy 列。若 \(X\) 中所有 Cauchy 列都收敛，则称 \(X\) 为完备空间。

定义 1.5（映射的连续性） 设 \(T: X \to Y\)，若 \(\rho(x_n, x_0) \to 0\) 蕴含 \(\rho(Tx_n, Tx_0) \to 0\)，则称 \(T\) 连续。

定义 1.6（压缩映射） 若 \(\exists 0 < \alpha < 1\)，使得 \(\rho(Tx, Ty) \leq \alpha \rho(x,y)\) 对所有 \(x,y \in X\) 成立，则称 \(T\) 为压缩映射。

定义 1.7（不动点） 若 \(Tx = x\)，则称 \(x\) 为 \(T\) 的不动点。

定理 1.1（Banach 不动点定理） 设 \((X, \rho)\) 是完备度量空间，\(T: X \to X\) 是压缩映射，则 \(T\) 存在唯一不动点。

证明 任取 \(x_0 \in X\)，令 \(x_{n+1} = Tx_n\)。由压缩性，

\[\rho(x_{n+1}, x_n) \leq \alpha \rho(x_n, x_{n-1}) \leq \cdots \leq \alpha^n \rho(x_1, x_0). \]

对任意 \(p \in \mathbb{N}\)，

\[\rho(x_{n+p}, x_n) \leq \sum_{i=1}^p \rho(x_{n+i}, x_{n+i-1}) \leq \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \rho(x_1, x_0) \to 0, \]

故 \(\{x_n\}\) 为 Cauchy 列。由完备性，存在 \(x^* \in X\) 使得 \(x_n \to x^*\)。由 \(T\) 的连续性，

\[x^* = \lim x_n = \lim Tx_{n-1} = T(\lim x_{n-1}) = Tx^*, \]

即 \(x^*\) 为不动点。若还有另一不动点 \(x^{**}\)，则

\[\rho(x^*, x^{**}) = \rho(Tx^*, Tx^{**}) \leq \alpha \rho(x^*, x^{**}) \Rightarrow \rho(x^*, x^{**}) = 0, \]

故唯一。

二、列紧集

定义 2.1（列紧集） 若 \(A\) 中任意点列在 \(X\) 中有收敛子列，则称 \(A\) 为列紧集。若极限均属于 \(A\)，则称 \(A\) 为自列紧集。

命题 2.1 列紧空间必完备。

证明 设 \(\{x_n\}\) 为 Cauchy 列，由列紧性存在收敛子列 \(x_{n_k} \to x\)。则

\[\rho(x_m, x) \leq \rho(x_m, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x) \to 0, \]

故 \(x_n \to x\)。

定义 2.2（稠密子集） 若 \(\forall x \in X\)，存在 \(\{x_n\} \subset E\) 使得 \(x_n \to x\)，则称 \(E\) 在 \(X\) 中稠密。

三、赋范线性空间

定义 3.1（范数） 映射 \(\|\cdot\|: X \to [0, +\infty)\) 称为范数，若满足：

1. \(\|x\| \geq 0\)，且 \(\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0\)；
2. \(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)；
3. \(\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|\)。

定义 3.2（Banach 空间） 完备的赋范线性空间称为 Banach 空间。

定义 3.3（范数的强弱） 若 \(\|x_n\|_2 \to 0\) 蕴含 \(\|x_n\|_1 \to 0\)，则称 \(\|\cdot\|_2\) 比 \(\|\cdot\|_1\) 强。

命题 3.1 \(\|\cdot\|_2\) 比 \(\|\cdot\|_1\) 强当且仅当 \(\exists C > 0\) 使得 \(\|x\|_1 \leq C \|x\|_2\) 对所有 \(x \in X\) 成立。

证明（\(\Leftarrow\)）显然。（\(\Rightarrow\)）若不然，则对每个 \(n\) 存在 \(x_n\) 使得 \(n \|x_n\|_1 > \|x_n\|_2\)。令 \(y_n = x_n / \|x_n\|_1\)，则 \(\|y_n\|_1 = 1\)，但 \(\|y_n\|_2 < 1/n \to 0\)，矛盾。

⭐命题 3.2 \(\|\cdot\|_1\) 与 \(\|\cdot\|_2\) 等价当且仅当 \(\exists C_1, C_2 > 0\) 使得

\[C_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1 \quad \forall x \in X. \]

证明：显然.